双曲線軌道分かってきたぞ

最近、スイングバイについて、調べまくっていて、半揚稔雄著「惑星探査機の軌道計算入門」とか長沢工著「軌道決定の原理」を読み漁ってました。

漸近線とか無限点を使って計算していて、自分は、意味がよく分からなかったので、自分が理解できる範囲で、作ってみた。

おいおい、それで大丈夫かって声も聞こえそうですが、多分木星まで行ってスイングバイできるのではないかと思います。いや、できます。

実際は、もっと精密な計算と、針の穴を通す軌道修正が必要ですが。理論上ということで。よろしく。

ホームページに双曲線軌道のメニュー作ったので、見てください。というものの、なかなかわかりにくいのですが。

とりあえず。計算例を作ったので、載せておきます。

使用する定数を定義しておきます。

定数

A.光速(c km/h) c=1.07925e⁹ km/h

B .宇宙エネルギー定数(U km/kg)=7.42426e^-31 km/kg

木星に侵入するときの双曲線軌道です。

用意するデータ

①侵入時の宇宙船の速度（vx km/h）vx=68648.5 km/h(19.07 km/s)

②侵入角度(θ rad) 　θ=1.32542（75.941度）

③宇宙船と木星の近点　r=2.25302e6 + 7.1492e⁴ km(=2,324,512 km)

④宇宙船の質量　mp=1,000 kg

⑤木星質量　m = 1.89813e⁺²⁷ kg

宇宙船の影響圏侵入時動的エネルギーの分解

A .基準軌道方向の速度　vHR = vx x cosθ = 2,324,512 x cos(1.32542) = 16,676.16 km/h

B. 中心天体方向の速度　vVR=vx x sinθ = 2,324,512 x sin(1.32542) = 66.592.21 km/h

C.基準軌道方向の動的エネルギー AHR= mp x vHR² je = 2.78094e¹¹ je

D.中心天体方向の動的エネルギー AVR= mp x vVR² je = 4.43452e¹² je

E.半交軸の静的エネルギー　Sa = AVR= 4.43452e¹² je

一般的に、半交軸は漸近線の交点です。しかし、私の理論では、中心天体方向の動的エネルギーになります。

距離算出

A .宇宙船質量エネルギー　Emp = mp x c² = 1000 x (1.07925e⁹)² = 1.16479e21 je

B .光速時基準軌道半径 acp=U(m+mp) = 7.42426e-31 x (1.89813e⁺²⁷ + 1000) = 0.00141 km

C .万有引力定数(μ)　μ = Emp x acp = 1.64144e¹⁸ je・km

万有引力定数は一般的に使っているので、今回は使用しましたが、質量エネルギーモーメントな意味です。

D .半交軸半径　a=μ / AVR = 1.64144e¹⁸ /4.43452e¹² = 370,150.65 km

E .影響圏半径 R = 2μ / AHR = 11,804,929.7 km

近点速度

A .近点動的エネルギー　Ar = 2Sr + Sa ですので、Srを算出します。

B .静的エネルギー　Sr = μ / r =7.06145e¹¹ je

また、Sa = 4.43452e¹² je ですので

近点動的エネルギー　Ar = 2Sr + Sa = 2 x 7.06145e¹¹ + 4.43452e¹² = 5.84681e¹²

C .近点速度 vr = sqrt(Ar / mp) =sqrt(5.84681e¹² / 1000 ) =76,464,45 km/h(=21.24 km/s)

となります。

地球から脱出する時の双曲線軌道です。

用意するデータ

①侵入時の宇宙船の速度（vx km/h）vx=44257.99 km/h(12.29 km/s)

②脱出角度(θ rad) 　θ = 0.47076（26.972度）

③宇宙船と地球の近点　r = 6378.137 + 260.9 km(=6,639.037 km)

④宇宙船の質量　mp = 1,000 kg

⑤地球質量　m = 5.97219E+24e⁺²⁴ kg

宇宙船の近点脱出時動的エネルギーの分解

A .基準軌道方向の速度　vHr = vx x cosθ = 44257.99 x cos(0.47076) = 39,443.8 km/h

B. 中心天体方向の速度　vVr = vx x sinθ =44257.99 x sin(0.47076) = 20,073.7 km/h

C.基準軌道方向の動的エネルギー AHr= mp x vHr² je =1.55582e¹² je

D.中心天体方向の動的エネルギー AVr= mp x vVr² je = 4.02954e¹¹ je

E.半交軸の静的エネルギー　Sa = AVR= 4.02954e¹¹ je

一般的に、半交軸は漸近線の交点です。しかし、私の理論では、中心天体方向の動的エネルギーになります。

距離算出

A .宇宙船質量エネルギー　Emp = mp x c² = 1000 x (1.07925e⁹)² = 1.16479e21 je

B .光速時基準軌道半径 acp=U(m+mp) = 7.42426e-31 x (5.97219e²⁴ + 1000) = 4.43391e^-6 km

C .万有引力定数(μ)　μ = Emp x acp = 5.16456e¹⁵ je・km

万有引力定数は一般的に使っているので、今回は使用しましたが、質量エネルギーモーメントな意味です。

D .半交軸半径　a=μ / AVr = 5.16456e¹⁵ /4.02954e¹¹ = 12,816.73 km

E .影響圏半径 R = 2μ / AVr = 25,633.46 km

影響圏境界速度

A .近点動的エネルギー　AR = 2SR + Sa ですので、Srを算出します。

B .静的エネルギー　SR = μ / R =5.16456e¹⁵ / 25,633.46 =2.01477e¹¹je

また、Sa = 4.02954e¹¹ je ですので

影響圏境界動的エネルギー　AR = 2SR + Sa = 2 x 2.0477e¹¹ + 4.02954e¹¹ = 8.05909e¹¹

C .近点速度 vr = sqrt(Ar / mp) =sqrt(8.05909e¹¹ / 1000 ) =28,388 km/h(=7.8857km/s)

となります。

脱出の場合、半交軸a(=12,816.73 km)の２倍の距離が、影響圏半径(=25,633.46 km)になります。これは新しい発見ではないかと。