カテゴリー: エネルギー

公転周期は中心星の周りを集会天体が回る軌道です。

振動周期は、基準軌道となる軌道（基準軌道）を中心に
振動する周期です。

この２つの周期で軌道が決まります。

振動周期は、水平方向と垂直方向（上下）の２つがあります。

水平方向の振動はは、軌道の形（楕円、放物線、双曲線など）を
決める要素の１つになります。

軌道種類は、

　円軌道
　楕円軌道
　放物線軌道
　双曲線軌道¹

の４種類あります。

これらは、
公転周期と振動周期の２種類の周期があります。
というか、２種類の周期で軌道が決まります。

円軌道

楕円軌道

放物線軌道

双曲線軌道

公転周期と振動周期による軌道はこのようになります。

地球トンネル

楕円軌道

放物線軌道

双曲線軌道

とりあえず、備忘労苦なので、詳細は後日

こんな感じ

そして、こんな感じ

動的エネルギーは、こんな感じ

中心星方向の位置エネルギーと動的エネルギー

こんな感じ

放物線軌道の軌道速度（v）は。

なのですが、

中心星方向の動的エネルギーがなければ、
影響圏に入ることができません。
放物線軌道の動的エネルギーは、中心天体方向のSrが必要です。

Ar = 3Sr

が正しいのではないかと。

地球トンネルは、
もしも地球の内部にトンネルがあって、
ボールを東京から落として、
ブエノスアイレスまで行って帰ってくるという、
妄想的な思考実験です。
この時間は、次のように求めることができます。
結果は、８４分くらいです。
はや！！

地球トンネルの理論を応用して、
基準軌道を中心に振動する単振動を考えてみます。

基準軌道を中心とする単振動は、
運動エネルギーと位置エネルギーが保存するので、
基準軌道を中心として、単振動します。
基準軌道位置(a)の中心天体からの位置エネルギー(Pa)は、
Pa = Sa x (f/a)
になります。
基準軌道(a)から(f)離れた位置エネルギー(Pf)は、
Pf = Pa(f/a) = Sa(f/a)²
になります。
例えば、

光速　c = 1.0792528488 x 10⁺⁹ km
質量光速基準半径　U = 7.4243 x 10^-31 km/kg
地球質量　 M = 5.97219 x 10⁺²⁴ kg
月質量　 m = 7.34767 x 10⁺²² kg
基準軌道半径　a = 384,400 km
単振動振幅 f = 21,000km

Em = mc² = 8.55845 x 10⁺⁴⁰ kg(km/h)²
ac = U(M+m)= 4.4884 x 10^-6 km
静的エネルギー Sa = Em x ac / a = 9.9933 x 10⁺²⁹ kg(km/h)²
Pa = Sa x ( f / a ) = 5.4594 x10⁺²⁸ kg(km/h)²
Pf = Pa x ( f / a ) = 2.9825 x 10⁺²⁷ kg(km/h)²
vf = sqrt(Pf /m) = 201.47 km/h
単振動周期は
Tf = 2πf / vf = 654.91 h

基準軌道(a)の軌道周期(Ta)は、
Ta = 2πa / va = 654.91 h

Ta = Tf　になります。
すなわち、単振動周期と軌道周期は同じになります。

前ブログで、双曲線軌道わかったと言ってしまいましたが、
検証した結果、間違っていました。
なかなか、おもうようにはいかないもです。

なので、少し違った角度から考えてみることにしました。

基準軌道半径　a がポイントです。

楕円軌道から双曲線軌道に変化する流れを考えてみた。
まあ、机上の空想なので、違っているかもしれませんが。

まず、楕円軌道の基準軌道半径を見てみると

基準軌道を中心に振動して、楕円軌道になります。

この振動をもう少し大きくすると

基準軌道は、Rの半分に近づきます。
楕円軌道がこのようになるのか、直線に近づくかは、検討が必要ですが。
さらに、基準軌道がRの半分になると、

動的エネルギーは
位置 r で 2Sr になり
位置 R で ０ になります。

これは、放物線軌道になります。

そして、さらに振動が大きくなると

Rの位置で中心星（例えば「木星」）の影響圏に宇宙船が進入したとします。
その時の宇宙船の動的エネルギー（AR）は、
円軌道方向の動的エネルギー（AHR）に静的エネルギーSRの２倍、
木星方向の動的エネルギー（AVR）にSaの静的エネルギーに分割されます。
AVRは移動中中心方向の動的エネルギーのため変化しません。

そして、Rからrに移動する間に動的エネルギーは増加して、
Sr=SRのrの位置で、静的エネルギーSrと増加したエネルギーがバランスします。
その位置rが最近距離になります。
そして、またRの方向に移動しRの位置で影響圏外に移動していきます。

例えば、木星をスイングバイする時の軌道を計算すると、

M：木星の質量（M = 1.89813 x 10⁺²⁷kg）
m：宇宙船の質量（m = 1.0 x 10³kg）
c：光速（c = 1.0792528488 x 10⁺⁹km/h）
U：質量光速基準軌道半径変換定数（U = 7.4242576375 x 10^-31km/kg）
AR：宇宙船の動的エネルギー（AR＝m x v_R²… v_R = 68,644.8km/h とすると）
AR = 4.71211 x 10⁺¹² kg(km/h)² とします。

r：最近距離を既知とします、（r = 2,324,512km）

宇宙船の
質量エネルギー：Em = m x c² （Em = 1.16477 x10²¹　kg(km/h)²
光速基準軌道半径：ac = U(M + m) （ac = 1.40922 x 10^-3km）
EA = Em x ac （EA = 1.64144 10⁺¹⁸ kg・km³・h^-2）

Sr = EA / r （Sr = 7.06146 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² ）
SR = Sr/2なので
SR = 3.53072 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² となり

AR = 2SR + Sa より
Sa = AR – 2SR （Sa = 4.00596 x 10⁺¹² kg(km/h)² ）
になります。

影響圏の距離　R　は、
R = EA / SR より
R = 4,649,024 kmになります。（単純に R = 2r で計算してもOK）

進入角度　θは、
θ = tan^-1(sqrt(2SR / Sa))　（θ = 0.3975 rad (=22.775度) ）になります。

こんな簡単でいいのかって
感じもしますが、
おそらくあっているのではないかと。

実例で検証してみることにします。

ではでは

双曲線軌道の最近点が、影響圏への侵入速度と入射角で計算できないかと、
考えていた分けですが、ちょっとわかったかもしれません。

進入動的エネルギー　A_R（m _kg x vR2 _km/h）
進入角度θ deg

が既知の場合


■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_R sin²θ _kg(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_R cos²θ _kg(km/h)²

になります。

■基準軌道　静的エネルギー（S_a )
基準軌道半径aの静的エネルギーSaと同じ

Sa = AV_{R kg(km/h)²}
になります。


■基準軌道半径（a）
宇宙船の質量をm
中心星の質量をM
質量エネルギーと光速基準軌道半径の積を
EA = Em x ac ( ==> mc2 x U( M + m )） _kg(km/h)²km　
　　　　　　： c=1.07925 x 10⁹ _km/h 、U = 7.42426 x 10^-31 _km/kg
とすると
基準軌道半径は、a = EA / AV_R　になります。

■基準軌道の公転周期（Ta）
位置aの軌道速度（va）は、va = sqrt(Sa/m) _km/h
なので
Ta = 2πa / va _h
になります。

■影響圏境界の静的エネルギー(S_R)
位置Rで影響圏（S2静的エネルギー曲線）に侵入するので、
S_R = AH_R / 2　となります。

■影響圏侵入距離（R）
R = 2EA / AH_Rになります。

■垂直方向の平均速度（vV）
垂直方向の運動エネルギー（K）は、2S_Rなので、
v_V = sqrt(2S_R/m) / 2　になります。

■振動周期（Tv）
宇宙船は、影響圏侵入距離（R）から最近点（r）に到達して、
また影響圏侵入距離（R）に戻るので、
L_V =（R – r）x 2 km（①式） 垂直方向に移動するので、

T_V = L_V / v_{V h}（②式）

になります。

■最近点（r）
ここで、振動周期Tvは、
位置aの公転周期の半分 （ Ta /2） になるので、
①式と②式より
L_V =（R – r）x 2 = Tv x v_V　
式を変形して

r = R – Tv x v_V / 2

で算出できます。

具体例　木星の双曲線軌道

【設定値】
■中心星質量　M = 1.89813e27 _kg
■宇宙船　　　m = 1.0e3 _kg
■影響圏侵入動的エネルギー A_R = 5.184e12_kg(km/h)²
■影響圏進入角度　θ = 52度

【計算結果】
■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_Rsin²θ = 1.96494e12 _kge(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_Rcos²θ = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道の静的エネルギー Sa = AV_R = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道半径 a = 509,913 km
■基準軌道の公転周期 Ta = 56.470 h
■影響圏境界の静的エネルギー　S_R = AH_R / 2 = 9.82470e11 _kg(km/h)²
■影響圏境界の距離 R = 1,670,731 km
■垂直方向の平均速度 vV = 22,163.8 km/h
■振動周期 Tv = 28.235 h

■最近点 r = 1,357,838 km

地球トンネルって、知ってますか。
地球にトンネルを掘っていって、
地球の裏側まで貫通する仮想のトンネルのことです。

こんな感じのトンネルです。

このトンネルに、ボールを落としたらどうなるかって、
仮想実験なのですが、
上の例だと、東京からブエノスアイレスまで、
トンネルを掘って、ボールを落としたら、
往復で、どこのくらいの時間がかかると思いますか？

なんと

８４.4分です。

これは、大学の試験にも出題されますが。
これをどうして計算したのかという話をしたいと思います。

以下は、この愛読書からの説明です。
他のインターネットなども同じような説明なので、
ネタバレさせてください。

まずは、万有引力です。
地球の中心からzkmの位置の万有引力です

この上の式は、距離Zによって、万有引力が変わり、
z以外は固定なので、z以外を、バネ定数kと置いて

このように、バネ定数を表すことができます。
よって、角速度は、

となります。
これから、８４.４分が算出されます。

気になる方は、計算してみてください。

万有引力をグラフにすると、こんな感じです。
地球の中心で万有引力が０になり、
距離R（例えば地球の半径=6380km）
ではFにRを代入した結果になります。

しかし、考えてみると、なんで地球の中心で
万有引力が０になるのでしょうか？

そこで、静的エネルギー（S）で考えてみることにします

ここからは、自論です。
まず、地球の表面（中心から6380km）にボールがあったとします。
もちろん既に、地球トンネルが掘られているとします。
地球の表面のボールのあるところの静的エネルギー（S_R）は

こんな感じで求められます。
しかし、ボールが持っている動的エネルギーは０です。
すでにお気づきかもしれませんが、
その静的エネルギーが動的エネルギーに供給されるシステムです。
静的エネルギー(S)と動的エネルギー（Vx）が保存されるエネルギーです。
注意しなければならないのは、
楕円軌道のシステムとはシステムが違います。
すなわち、

こんな感じで、地球の中心の動的エネルギーが、
最大（S_R）となります。
つまり、速度が最大となります。

前の万有引力を使った考え方は、
静的エネルギーの話で、
エンディの理論は、ボールの動的エネルギーの話です。

どちらも、周期は84.4分になりますが、
個人的には、ボールの動的エネルギーを使った考えの方が良いと思います。
みなさんはどうでしょうか？

地球トンネルから楕円軌道

ところで、
このことを考えているうちに、
自分が考えている、楕円軌道は、円軌道＋単振動の
理論の単振動の部分は、
この、地球トンネルが応用できるのではないかと考えました。

いままで、振幅が円軌道を中心に同じ距離で振動していることが、
いまいちわかりませんでした。

しかし、Endy’s Earth Tunnelの図をみると、
０の部分が、基準軌道（a）とすると、
振幅がRの単振動がおきます。

なので、基準軌道aを中心に振幅Rの単振動が起きます。

近点で衝突した時の遠点の位置、
遠点で衝突した時の近点の位置

は、この現象で決まるとういうことがわかりました。