双曲線軌道

振動周期

ニューホライズンの木星スイングバイ（双曲線軌道）の例

軌道形状

周期

公転周期は中心星の周りを集会天体が回る軌道です。

振動周期は、基準軌道となる軌道（基準軌道）を中心に
振動する周期です。

この２つの周期で軌道が決まります。

振動周期は、水平方向と垂直方向（上下）の２つがあります。

水平方向の振動はは、軌道の形（楕円、放物線、双曲線など）を
決める要素の１つになります。

猫のチャーと坊さんの座布団　コンテンツ

（ナレ）ここは、田舎の研究所。

動物好きの女性所長と、頼りになる研究員で宇宙の研究をしている。

そんな中、ある日

保護猫のチャーがあらわれる。びしょ濡れで研究所に顔をだした。

それから、ずっと研究所に居ついた。そして、チュールがお気に入り。

というか、チュールしか食べない。

チャーは、研究所に来る前は、

猫軍団といっしょにあそんでいた。

チャーが研究所に来てから、１年程たった夏の日、

研究所がある町に、
猫嫌いなおじさんが居て、

猫狩りを始めた。

それで、

猫軍団は、あわてて、研究所に逃げてきたのだ。

今や猫軍団は、研究所に住み着いている。

研究所は、

宇宙の研究をしているが、

あまり良い成果があがらない。

論文も駄作続出。

さてさて、研究員は、

スクラップ　アンド　ビルト　だ！！

と意気込んでいる。

はたして、何かいいアイデアや理論が生まれるのか！

（エンディ）まあ、ここで私は一言言いたい！

「もっと宇宙の構造は簡単ではないかと。」

「宇宙の動きは、簡単な数学で動いているに違いない。」

でなければ、宇宙自体が、

超スーパーコンピューターみたいな頭脳を持っていなければ、

この宇宙を保つのはむずかしいです。

（研究員）３体問題すら解けない宇宙って変じゃないですかね！！

３つの天体の動きが、計算できないって。

そりゃ根本の考え方が違っているんじゃないかと思うんですよ。

宇宙は、３体問題は発生しないということでです。（言い切った！）

２つの場合は明確にわかるんだから、

すべては２体問題で解決できるんじゃないかと思うんですよ。

（エンディ）

太陽、地球、月といった関係は、

太陽と地球、地球と月って感じの２体問題なら

宇宙全体が全体がスッキリ！します。

（研究員）太陽が月に関与してくると３対問題になって、動きがややこしくなるんだよな。

でも、ニュートンは万有引力っていってるし、
２対問題だけで、すべて説明するのは難しいんじゃないか。

（エンディ）まあそうだけどね

（研究員）太陽は動いているのに、
太陽が止まっているとみなしても

地球は太陽の周りをうまく回ります。

月は、地球の周りを回っていますが、

太陽の周りも地球といっしょに回っています。

しかし。月から見た地球は、止まっているとみなしても、

うまく説明がつきます。問題ありません。

（エンディ）そうだね、慣性の法則ににています。

太陽のトラックの荷台に、惑星が乗っていて、

惑星のトラックの荷台に、衛星が乗っている、

ようなイメージです。

（研究員）うちのカメたちも同じです。

ニュートンの「重力理論」は、

全ての天体は、関連しあって動いている。

つまり、ネットワーク構造です。

ネットワーク構造の場合、宇宙は複雑な動きをするはずです。

しかし、

太陽系の惑星、衛星の動きは、

宇宙は秩序を持って動いています。

言い過ぎかもしれませんが。そのように見えます。

それでは、そのあたりから研究をはじめてみますか。

そうしましょう

公転周期と振動周期

軌道種類は、

　円軌道
　楕円軌道
　放物線軌道
　双曲線軌道¹

の４種類あります。

これらは、
公転周期と振動周期の２種類の周期があります。
というか、２種類の周期で軌道が決まります。

距離名	中心からの距離	静的エネルギー(S=EA/x)	位置エネルギー	軌道速度(sqrt(S/m))	軌道周期
基準軌道半径	a	Sa		va	Ta=2πa/va
最近点	r	Sr		vr	Tr=2πr/vr
振動基準	f = ( R + r ) / 2	Sf	Pfh=Sf(h/f)	vf	Tf=2πf/vf
振幅	h = ( R – r ) / 2		Ph=Pfh(h/f)	vh	Th=2πh/vh
影響圏境界最遠点	R	SR		vR	TR=2πR/vR

距離名	近点				遠点
円軌道	最近距離（r）=基準軌道半径（a）=振動基準（f）=影響圏境界（R）	振幅（h）=0
楕円軌道	最近距離（r）	基準軌道半径（a）=振動基準（f）	振幅（h）	影響圏境界（R）
放物線軌道	基準軌道半径（a）=最近距離（r）	振動基準（f）	振幅（h）	影響圏境界（R）
双曲線軌道	基準軌道半径（a）	最近距離（r）	振動基準（f）	焦点軌9道半径（h）	影響圏境界（R）

円軌道

楕円軌道

放物線軌道

双曲線軌道

公転周期と振動周期による軌道はこのようになります。

双曲線軌道の最終形　ざっくり

こんな感じ

そして、こんな感じ

動的エネルギーは、こんな感じ

中心星方向の位置エネルギーと動的エネルギー

こんな感じ

放物線軌道

放物線軌道の軌道速度（v）は。

なのですが、

中心星方向の動的エネルギーがなければ、
影響圏に入ることができません。
放物線軌道の動的エネルギーは、中心天体方向のSrが必要です。

Ar = 3Sr

が正しいのではないかと。

双曲線軌道　再考です

前ブログで、双曲線軌道わかったと言ってしまいましたが、
検証した結果、間違っていました。
なかなか、おもうようにはいかないもです。

なので、少し違った角度から考えてみることにしました。

基準軌道半径　a がポイントです。

楕円軌道から双曲線軌道に変化する流れを考えてみた。
まあ、机上の空想なので、違っているかもしれませんが。

まず、楕円軌道の基準軌道半径を見てみると

基準軌道を中心に振動して、楕円軌道になります。

この振動をもう少し大きくすると

基準軌道は、Rの半分に近づきます。
楕円軌道がこのようになるのか、直線に近づくかは、検討が必要ですが。
さらに、基準軌道がRの半分になると、

動的エネルギーは
位置 r で 2Sr になり
位置 R で０になります。

これは、放物線軌道になります。

そして、さらに振動が大きくなると

Rの位置で中心星（例えば「木星」）の影響圏に宇宙船が進入したとします。
その時の宇宙船の動的エネルギー（AR）は、
円軌道方向の動的エネルギー（AHR）に静的エネルギーSRの２倍、
木星方向の動的エネルギー（AVR）にSaの静的エネルギーに分割されます。
AVRは移動中中心方向の動的エネルギーのため変化しません。

そして、Rからrに移動する間に動的エネルギーは増加して、
Sr=SRのrの位置で、静的エネルギーSrと増加したエネルギーがバランスします。
その位置rが最近距離になります。
そして、またRの方向に移動しRの位置で影響圏外に移動していきます。

例えば、木星をスイングバイする時の軌道を計算すると、

M：木星の質量（M = 1.89813 x 10⁺²⁷kg）
m：宇宙船の質量（m = 1.0 x 10³kg）
c：光速（c = 1.0792528488 x 10⁺⁹km/h）
U：質量光速基準軌道半径変換定数（U = 7.4242576375 x 10^-31km/kg）
AR：宇宙船の動的エネルギー（AR＝m x v_R²… v_R = 68,644.8km/h とすると）
AR = 4.71211 x 10⁺¹² kg(km/h)² とします。

r：最近距離を既知とします、（r = 2,324,512km）

宇宙船の
質量エネルギー：Em = m x c² （Em = 1.16477 x10²¹　kg(km/h)²
光速基準軌道半径：ac = U(M + m) （ac = 1.40922 x 10^-3km）
EA = Em x ac （EA = 1.64144 10⁺¹⁸ kg・km³・h^-2）

Sr = EA / r （Sr = 7.06146 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² ）
SR = Sr/2なので
SR = 3.53072 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² となり

AR = 2SR + Sa より
Sa = AR – 2SR （Sa = 4.00596 x 10⁺¹² kg(km/h)² ）
になります。

影響圏の距離　R　は、
R = EA / SR より
R = 4,649,024 kmになります。（単純に R = 2r で計算してもOK）

進入角度　θは、
θ = tan^-1(sqrt(2SR / Sa))　（θ = 0.3975 rad (=22.775度) ）になります。

こんな簡単でいいのかって
感じもしますが、
おそらくあっているのではないかと。

実例で検証してみることにします。

ではでは

双曲線軌道の最近点がわかったかも

双曲線軌道の最近点が、影響圏への侵入速度と入射角で計算できないかと、
考えていた分けですが、ちょっとわかったかもしれません。

進入動的エネルギー　A_R（m _kg x vR2 _km/h）
進入角度θ deg

が既知の場合

■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_R sin²θ _kg(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_R cos²θ _kg(km/h)²

になります。

■基準軌道　静的エネルギー（S_a )
基準軌道半径aの静的エネルギーSaと同じ

Sa = AV_R _kg(km/h)²
になります。

■基準軌道半径（a）
宇宙船の質量をm
中心星の質量をM
質量エネルギーと光速基準軌道半径の積を
EA = Em x ac ( ==> mc2 x U( M + m )） _kg(km/h)²km　
　　　　　　： c=1.07925 x 10⁹ _km/h 、U = 7.42426 x 10^-31_km/kg
とすると
基準軌道半径は、a = EA / AV_R　になります。

■基準軌道の公転周期（Ta）
位置aの軌道速度（va）は、va = sqrt(Sa/m) _km/h
なので
Ta = 2πa / va _h
になります。

■影響圏境界の静的エネルギー(S_R)
位置Rで影響圏（S2静的エネルギー曲線）に侵入するので、
S_R = AH_R / 2　となります。

■影響圏侵入距離（R）
R = 2EA / AH_Rになります。

■垂直方向の平均速度（vV）
垂直方向の運動エネルギー（K）は、2S_Rなので、
v_V = sqrt(2S_R/m) / 2　になります。

■振動周期（Tv）
宇宙船は、影響圏侵入距離（R）から最近点（r）に到達して、
また影響圏侵入距離（R）に戻るので、
L_V =（R – r）x 2 km（①式）垂直方向に移動するので、

T_V = L_V / v_V _h（②式）

になります。

■最近点（r）
ここで、振動周期Tvは、
位置aの公転周期の半分（ Ta /2）になるので、
①式と②式より
L_V =（R – r）x 2 = Tv x v_V　
式を変形して

r = R – Tv x v_V / 2

で算出できます。

具体例　木星の双曲線軌道

【設定値】
■中心星質量　M = 1.89813e27 _kg
■宇宙船　　　m = 1.0e3 _kg
■影響圏侵入動的エネルギー A_R = 5.184e12_kg(km/h)²
■影響圏進入角度　θ = 52度

【計算結果】
■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_Rsin²θ = 1.96494e12 _kge(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_Rcos²θ = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道の静的エネルギー Sa = AV_R = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道半径 a = 509,913 km
■基準軌道の公転周期 Ta = 56.470 h
■影響圏境界の静的エネルギー　S_R = AH_R / 2 = 9.82470e11 _kg(km/h)²
■影響圏境界の距離 R = 1,670,731 km
■垂直方向の平均速度 vV = 22,163.8 km/h
■振動周期 Tv = 28.235 h

■最近点 r = 1,357,838 km

重力を使わないスイングバイの思考経緯を辿る

スイングバイについて、ブログを色々書いてきたので、
このあたりで、整理しようと思います。

今日は、免許証の更新なので、手短にです。もちろんゴールドです。（全然関係ないです）

まずは、エネルギーの加減算について書きました。
エネルギーを分解する式を、完全に勘違いしていたので、
備忘録としてブログを書きました。

エネルギーは加減算

その後、研究を続けた結果、少しスウィングバイがわかって来た時に書いたブログが

スイングバイ少しわかった

です。
その後、スイングバイは、双曲線軌道上を動くということがわかり書いたブログが、

ついに！双極戦軌道わかった！

です。
その後、実際の値が欲しく成り、ニューホライズンの木星のスイングバイのデータを使って計算して書いたブログが

ニューホライズンが木星をスイングバイする時の双曲線軌道

です。
その後、無謀にも、衝突エネルギーによる、双曲線軌道を、よせばいいのに考えてしまったブログが

一般的な双曲線軌道が見えてきた

です。
その後、平常心を取り戻して、双曲線軌道を完成させたのが、

双曲線軌道完成しました！

です。
これは、重力を使わず、エネルギーだけで、双曲線軌道を計算できるようにしました。
ボイジャー２号の木星のスイングバイのデータを利用して確認しました。
その後、天体のどこまで近づいたら、その天体の影響圏に入るかというのを研究して書いたブログが