公転周期（Tc）は、基準軌道城で出発点まで一周して戻ってくる時間です。

振動周期（Tf）は、楕円軌道の近日点から近日点に戻ってくるまでの時間です。

近点移動も原理は、公転周期（Tc）と振動周期（Tf）が異なるためです。（ここ大事！）
グラフで描くとこんな感じです。
赤線：公転周期（Tc）　黒線：振動周期（Tf）

質量変化

公転周期（Tc）と振動周期（Tf）が異なる＝質量の変化ということになる。
これはバネにぶら下げたおもりの振動周期は、バネ定数kと質量m_fでの式からわかる。

公転周期Tcの時の質量をm_f,、振動周をT_f、バネ定数kとすると、振動周期の時（近点移動）の質量m_fは次のように表されます。

<proof>

水星の質量変化の計算

mcを3.30103E+23kg、公転周期Tc=2111.17121h、振動周期Tf=2111.17347とすると
振動集周期Tfのときの質量m_f=3.30104E+23kgになります。

月の軌道傾斜の起源

記事の内容は、
（１）月の成り立ちは、ジャイアントインパクト説が有力
（２）だけど、ジャイアントインパクト説では、月の白道は５度も傾かない
（３）でも、研究したら、そんくらい傾くぜ

という内容です。

記事（全文）は、次の通りです。（読まなくて大丈夫です。）

【2000年2月24日 国立天文台・ニュース(329)】

月の軌道面は、現在黄道面とは約5度の傾きをもち、地球の赤道面とは、約18.6年の周期で18度から28度の傾きの間を変動しています。 太陽系の衛星の大部分が、母惑星の赤道面にほぼ一致する軌道をもっていることと比べると、これはかなり特殊な状態です。 また、過去に時間をさかのぼって追跡すると、月が誕生した頃は、地球の赤道面と10度くらいの傾きをもっていたことがわかります。

一方、月の成因として、最近は巨大衝突(ジャイアント・インパクト)説が有力視されています。 これは、原始地球に火星程度の天体が衝突してたくさんの破片が生じ、それらの破片が集積して月になったという考え方です。 最初に月が生まれる位置は地球のすぐ近くですが、その後しだいに遠ざかり、現在の位置にまで後退したと考えられます。 このシナリオにしたがって、たくさんのシミュレーションがおこなわれました。 しかし、こうした衝突で形成される月の軌道は、傾きはほとんどが1度内外で、上記の条件とは合いません。 月の軌道の傾きを説明できないことが、巨大衝突説のひとつの弱点だといわれてきました。

コロラド州ボールダー、サウスウエスト研究所のワード(Ward, W.R.)らは、この点について研究し、特別のことを考えなくても、月軌道の傾きが説明できると述べています。

巨大衝突によって作られた破片は、まず、地球の周りを回る円盤を形成します。 そして、1年程度の期間で集積して原始の月を形成します。 ワードらの考えでは、この集積が起こるのは、地球半径の約2.9倍であるロッシュの限界の外側の部分だけで、ロッシュの限界より内側の部分は、地球の潮汐力に妨げられて集積できず、しばらくの間は内部円盤として留まるというのです。 そうすると、内部円盤の中には、外側の原始月との間に、公転周期が簡単な整数比をなす部分があり、月との間にいわゆる平均運動共鳴を起こします。 こうした共鳴の中で、リンドブラード共鳴と呼ばれるものが月の軌道の傾きを大きくする働きをします。

ワードらのシミュレーションでは、初期条件によって少しずつ結果は異なりますが、地球に落下し、あるいはロッシュの限界の外側に出ることで内部円盤の破片がなくなるまでの間に、この共鳴は、10度から15度くらいまでの月の軌道の傾きを生み出します。 したがって、特別の条件を考えることなく、現在の月の軌道の傾きが説明できるのです。

この説明によってひとつの欠点が克服されました。 巨大衝突説は、月の誕生を説明する理論として、一層その重みを増すことになりそうです。

参照　Ward, W.R. et al., Nature 403, p.741-743(2000).

しかし

ちょっと待ってくださいよ。
本当にそうかなあ。
月ができた当初は、黄道面を円運動していたのではと考えると、
今の月の動きは、うまく説明つくのですけれど。
ロッシュ限界（中心天体に近づいた時、周回天体が壊れるか壊れないかの境）
の外とか内とかって問題かなあ。
それなら、なぜ宇宙船が壊れないかが不思議だ。

一番怪しいのが、「リンドプラード共鳴」「潮汐力」などですが。
特に「潮汐力」って本当にあるのかって事です。
潮の満ち干きがあるから、「潮汐力」ですが。
原因は違うのでは無いかと。
これは、もしや、前にも、ブログで書いた記憶があるなあ。

今自分の中で一番有力な月の起源は、「親子説」かな。
地球と月って重心を中心に地球と月が公転しているんだよね。
だとしたら、地球と月がくっ付いていて（仮称：月地球）
ボンと爆発して、質量比でお互い反対方向にすっ飛んで、地球と月に別れた。
ってのが一番有力かな。
すっ飛んだ時に、地球の地軸は２３度傾き、黄道方向に月がすっ飛んだ。
って感じかな。
その後、月は２度衝突しているけどね。
まあ、自分の理論が正しければですが。

冥王星とカロンもおそらくそんな感じでは無いかなあ。
重心は、冥王星を飛び出していますが。

だって、そもそも、引力なんぞ無いから（あっ）、
それは、猫のチャーの座布団理論が正しいとすればですが。

宇宙は特別なことは起きないってのが、基本方針なので、
まあ、今日もそんなことを考えながら、
明日に向かうのでした。

白道は、18.61年で、公転方向とは逆の方向で回転しています。
この原因ってなんだろうか！
（参照：国立天文台月の楕円はぐるぐる回る (昇交点方向)）

月の公転周期は27..32日で１周します。
ということは、18.61年で　18.61（年） x 365（日） / 27.32（日）　で
約２４８.６周することになります。

一周では、360° / 248.5 = 1.45°
後退します。
その時間は約2.63時間です。

ENDY予想

（１）まず、月は黄道上を周回していた。（白道面＝黄道面）
（２）あるとき、上から下への衝突によって、白道面が、-1.490度傾いた。（第１白道面）
（３）しばらくたって、２回めの下から上への衝突で、白道面が第１白道面から+6.635度傾いた。
そのため、現在の黄道面から、5.145（=6.635-1.490）度の傾きの白道面になった。
という、予想です。

月の軌道方向の衝突も、２度あったのでは無いかと、
計算結果が出ているので、
あながちこの予想も大きく外れてはいないのでは無いかと、
思います。

第１白道面と黄道面に対する白道面がマイナスの傾斜（-1.490度）によって、基準軌道半径が小さくなるで、
上下振動の周期が黄道面より第一白道面の方が速くなり、
その分黄道面上の昇交点が逆こうしているように見かけ上見えます。

第１白道面ベースでは、公転周期と上下振動周期は同じなります。

上の図は、黄道面の基準軌道半径をa1=384,405kmとして、計算した結果を表しています。

上下振動は。第１衝突の振動周期と第２衝突の振動周期が異なるため、
おそらくうなりを伴った上下振動になっているのでは無いかとそうと想像します。
どなたか、白道面に関するデータをお持ちでしたら、お借りしたいです。

これも予想ですが、
月の自転軸が黄道面垂線から6.688度傾いていて、
第２白道面から1.543度傾いていることから、
第１白道面での月の地軸は、ほぼ第１白道面の垂直で、
第２白道面での月の地軸も。ほぼ第２白道面と垂直とすると、
現在の自転軸の傾きが、納得できます。


計算式については、
新しくページを作ります。のでしばしお待ちを。

かなり、双曲線軌道に手こずりましたが、
なんとも、中心方向の衝突エネルギー（垂直）の挙動って、
水平方向（円軌道の進行方向）の衝突の挙動と違うってことfr、
多分、上手く説明できるんじゃないか。
というところまで来ました。

まあ、垂直の衝突エネルギーが小さいときは、楕円軌道なんですが、
大きくなって、鎮座している位置の静的エネルギーを超えると、
双曲線軌道になるって、ことがわかりました。
これは、大発見かも。
と、勝手に思っているわけですが。

ただ、衝突で双曲線軌道になるためには、
かなり大きな衝突が必要になるんですよね。
ロケットが、影響圏に入って来る場合は、
意外と簡単に双曲線軌道になるってこともわかりました。

それはそれとして、
もしかしてと思ったのですが、
白道って衝突じゃない？

衝突で単振動して、白道面が傾いているんじゃないかと。

白道ってなんだよってことですが、
月の軌道って、地球の公転軌道の面（黄道）に対して、
5.１°程度傾いているんだよね。自分で測ったことは、ありませんが（汗）
その傾きの原因が、衝突ではないかと思うんです。
とすると、最初は、黄道面を月は動いていたのに、
衝突して、白道面を動くようになったということです。
そして、上下の単振動！
これなら、なんとなく直感的に、月お軌道が傾のでhないかと。

※白道については、国立天文台のページ見てください。
https://eco.mtk.nao.ac.jp/koyomi/wiki/B7EEA4CEB8F8C5BEB1BFC6B02FBEBAB8F2C5C0CAFDB8FE.html

衝突エネルギー（Iu）は。
白道面の振幅（h）と、基準軌道半径（a）と静的エネルギー（Sa）によって

で表せます。

月の白道の振幅（h）は。a=384,400kmと白道の傾き5.１°より、
h=34,171kmになります。

地球からa=384､400kmの基準軌道位置の静的エネルギー（Sa）は、
地球質量（M） = 5.97219e⁺²⁴ kg
月質量（m） = 7.34767e⁺²² kg
宇宙エネルギー定数（U） = 7.42426e^-31 km/kg
光速（c）= 1.07925e⁺⁹ km/h
より

静的エネルギーの式　
Sa = mc² x U(M+m) / a
を使って

Sa = 9.99332e⁺²⁹ je(=kg・(km/h)²)になります。

基準軌道から、h＝34,171 km離れたところへ、
月を打ち上げる為の衝突エネルギー（Iu）は、

を使うと、

Iu = 8.8835e⁺²⁸ je　になります。

もしも、質量が月の５０分の１程度の小惑星が衝突したと仮定すると、
約。７,８００km/h 程度で衝突した計算になります。

次回は、白道面が公転方向とは逆に、18.61年で一周することについて、
調査研究します。

双曲線軌道については、これまでの何回か、思考の途中経過をブログに掲げてきました。
しかし楕円軌道のように、衝突エネルギー（I）を使って上手く表せないだろうかと、
よせばいいのに、研究して見ました。

楕円軌道については、円軌道に対して、進行方向または進行方向逆に、
衝突した場合だけを考えてきたわけですが、

この図を見た時に、実は中心天体方向の衝突エネルギー(IV)については、
何も考えていなかったことに気づいたのでした。

双曲線の基準軌道（a）は、ロケット侵入の場合、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）でした。
ということは、基準軌道（a）をぐるぐる回っている天体、（ぐるぐるかよ）
基、周回している天体を考えた場合、
そこに中心天体の方向に動かすエネルギーが、
垂直方向の衝突エネルギー（IV）ではないかと。
そうすると、こんな軌道になるのではないかと、
妄想しました。

そして妄想を膨らめ、
もっと大きな衝突エネルギーだったらどんな軌道に！

この軌道は妄想ですが、
こんな感じではないかと、
これは振幅（f）が基準軌道半径（a）にかなり近づいた、
場合の妄想です。

それでは、妄想をもっと膨らめて、
振幅（f）が基準軌道半径（a）を超えたらどうなるか

こんな、感じではないかと。
これは、まさしく双曲線軌道。

ここで、
基準軌道上の静的エネルギー（Sa）は、影響圏にロケットが侵入した時の、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）です。
これは、基準軌道上（a）の位置エネルギーを基準０とすると、
振動（f）の位置の位置エネルギー（Pf）は、

で表せます。
ここで、位置エネルギーと書いてしまいましたが、
この位置エネルギーと同等の衝突エネルギー（IV）が、基準軌道（a）上で必要となり、
fの位置に行くまでに、衝突エネルギー（IV）を消耗し、
fの位置では、エネルギー総和がゼロになるはずです。
振幅（f）は、基準軌道（a）+近点距離(r)になります。

衝突エネルギー（IV）がわかっているとすると、
衝突エネルギー（IV）

近点（r）は、

r = f – a

になります。

まとめると

（１）周回天体の進行方向の衝突（水平衝突）と中心天体方向の衝突（垂直衝突）では、軌道形状が異なります。
（２）水平衝突は、基準軌道が移動し、そこを基準に単振動します。
（３）水平衝突は、衝突した位置の静的エネルギーの２倍の動的エネルギーになると、親が移動します。
（３）垂直衝突は、基準軌道を中心に、単振動します。
（４）垂直衝突は、基準軌道の静的エネルギーを超えると、双曲線軌道になり、影響圏を脱出し親が変わります。
（５）スイングバイのように、外部から影響圏に侵入した場合は、動的エネルギーを垂直方向と水平方向に分離し、
水平方向の動的エネルギーが静的エネルギーと同じになった時点で、影響圏に突入し、親が変わります。
垂直方向の動的エネルギーは、基準軌道の静的エネルギーになります。
基準軌道（a） から振幅（f）までに移動するために衝突エネルギー（IV）が必要になります。

までわかりました。
もう少しですな。