カテゴリー: 楕円軌道

楕円軌道は、衝突により発生します

近点衝突

衝突による軌道変化

遠点衝突

衝突による軌道変化（遠点距離）

基準軌道と振動基準

振動周期

静的エネルギーと動的エネルギー

円軌道

軌道種類は、

　円軌道
　楕円軌道
　放物線軌道
　双曲線軌道¹

の４種類あります。

これらは、
公転周期と振動周期の２種類の周期があります。
というか、２種類の周期で軌道が決まります。

円軌道

楕円軌道

放物線軌道

双曲線軌道

公転周期と振動周期による軌道はこのようになります。

前ブログで、双曲線軌道わかったと言ってしまいましたが、
検証した結果、間違っていました。
なかなか、おもうようにはいかないもです。

なので、少し違った角度から考えてみることにしました。

基準軌道半径　a がポイントです。

楕円軌道から双曲線軌道に変化する流れを考えてみた。
まあ、机上の空想なので、違っているかもしれませんが。

まず、楕円軌道の基準軌道半径を見てみると

基準軌道を中心に振動して、楕円軌道になります。

この振動をもう少し大きくすると

基準軌道は、Rの半分に近づきます。
楕円軌道がこのようになるのか、直線に近づくかは、検討が必要ですが。
さらに、基準軌道がRの半分になると、

動的エネルギーは
位置 r で 2Sr になり
位置 R で ０ になります。

これは、放物線軌道になります。

そして、さらに振動が大きくなると

Rの位置で中心星（例えば「木星」）の影響圏に宇宙船が進入したとします。
その時の宇宙船の動的エネルギー（AR）は、
円軌道方向の動的エネルギー（AHR）に静的エネルギーSRの２倍、
木星方向の動的エネルギー（AVR）にSaの静的エネルギーに分割されます。
AVRは移動中中心方向の動的エネルギーのため変化しません。

そして、Rからrに移動する間に動的エネルギーは増加して、
Sr=SRのrの位置で、静的エネルギーSrと増加したエネルギーがバランスします。
その位置rが最近距離になります。
そして、またRの方向に移動しRの位置で影響圏外に移動していきます。

例えば、木星をスイングバイする時の軌道を計算すると、

M：木星の質量（M = 1.89813 x 10⁺²⁷kg）
m：宇宙船の質量（m = 1.0 x 10³kg）
c：光速（c = 1.0792528488 x 10⁺⁹km/h）
U：質量光速基準軌道半径変換定数（U = 7.4242576375 x 10^-31km/kg）
AR：宇宙船の動的エネルギー（AR＝m x v_R²… v_R = 68,644.8km/h とすると）
AR = 4.71211 x 10⁺¹² kg(km/h)² とします。

r：最近距離を既知とします、（r = 2,324,512km）

宇宙船の
質量エネルギー：Em = m x c² （Em = 1.16477 x10²¹　kg(km/h)²
光速基準軌道半径：ac = U(M + m) （ac = 1.40922 x 10^-3km）
EA = Em x ac （EA = 1.64144 10⁺¹⁸ kg・km³・h^-2）

Sr = EA / r （Sr = 7.06146 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² ）
SR = Sr/2なので
SR = 3.53072 x 10⁺¹¹ kg(km/h)² となり

AR = 2SR + Sa より
Sa = AR – 2SR （Sa = 4.00596 x 10⁺¹² kg(km/h)² ）
になります。

影響圏の距離　R　は、
R = EA / SR より
R = 4,649,024 kmになります。（単純に R = 2r で計算してもOK）

進入角度　θは、
θ = tan^-1(sqrt(2SR / Sa))　（θ = 0.3975 rad (=22.775度) ）になります。

こんな簡単でいいのかって
感じもしますが、
おそらくあっているのではないかと。

実例で検証してみることにします。

ではでは

両者とも、天文学に大きな影響を与えた２人です。
教科書にも登場しているので、知らない人はほとんどいないのではないかと思います。
ケプラーは、ケプラーの法則をつくり、ニュートンは、万有引力の法則を作りました。
彼らはいろいろな業績がありますが、それらの法則が一番有名ですね。

ケプラーの法則は、師匠のチコ・プラーエの膨大のデータをもとにケプラーの法則を作りました。
プラーエは、天体は円軌道上を動くと思っていたので、
自分の収集したデータは円軌道上を動いていないかったため、
研究をあきらめてしまいました。
あきらめたかどうかは、すみませんわかりませんが、
結論にたどりつかなかったわけです。
そのデータを元に、解析したのが、弟子のケプラーでした。
ケプラーは、データ解析した結果、
天体は楕円軌道上を動くことを発見しました。
さらに、面積速度一定の法則や、調和の法則を作りました。
これらの３法則は、ケプラーの法則と呼ばれてます

詳しくは述べませんが、
これらのことがわかった分けです。

ケプラーの法則考

ここからは、私見なんですが、

第２と第３法則については、データに基づいて、数学的に正しいので間違いはないと思います。
しかし、第一法則については、データからの推論ですが、
あくまでも、現在の軌道をもとにしたケプラーの考察です。
太陽系の天体が４６億年間同じ軌道上を動いていたというのは無理があります。
もしも、軌道が変化したとすれば、
天体が誕生してから、現在までの軌道の変化の過程を考える必要があります。
そこで、天体が生まれた時に遡ってみます。
天体は、何も力が加わらなければ、等速直線運動します。
しかし、２体間の場合は、等速円運動になります。
ですから、何も力が加わっていない状態を、誕生当時の軌道としてみます。
その円軌道がなんらかの原因で今の楕円軌道になったと考えてみます。

では、その原因はなんでしょうか。
「天体間の衝突」や「自爆」です。それくらいしか思いつかないのですが。
ここでは、「天体間の衝突」について考えてみます。

中心天体の周りを回る周回天体の「円軌道」では、力が働いていない状況なので、バランスがとれています。
ここでは、便宜的に「遠心力」と「中心天体と周回天体間の万有引力」のバランスということにします。
いいかえれば、そこが一番居心地がいいわけです。
しかし、天体間の衝突が起こると、バランスが崩れる分けです。
「遠心力」が増減する分けです。
そうなると、天体はバランスが取れる場所に移動するはずです。
遠心力が増加した場合（周回天体の進行方向に衝突）、
周回天体は中心天体から離れて、天体の速度を落としていきます。
これは、ケプラーの第２法則からわかります。
速度が落ちると、遠心力が減ります。
また、中心天体から周回天体が離れると中心天体と周回天体間の万有引力が小さくなります。
ニュートンの法則から、天体間の距離の２乗で、万有引力は小さくなります。
そうすると、どこかの天体間の距離でバランスがとれる位置があるはずです。
そこが、遠心力と万有引力がバランスとれている場所なので、
その位置で、円軌道していると考えられます。

しかし、衝突した位置から、衝突後バランスがとれている円軌道の位置まで移動するため、
それを超えて、衝突位置の反対側まで周回天体は移動します。
その移動距離が、衝突位置から衝突後の円軌道の位置までの距離と同じ距離、
衝突後の円軌道から移動すると考えると、
その距離は、ケプラーの第１法則の太陽と楕円軌道の中心までの距離、
楕円軌道のいわゆる焦点距離と同じ距離になります。

これは、楕円軌道の中心が軌道の中心ではなく、中心天体が軌道の中心と考えられるということです。
ケプラーの第１法則は次の図になります。

私の考え方でいけば、中心天体が軌道のの中心になって、衝突後の基準軌道を中心に振動し、
次の図のような楕円軌道になります。

というわけで、
周回天体は、衝突後円軌道を中心に振動します。そして、公転周期＝振動周期となります。
イメージとしては、周回天体が外方向に押されて振動して元の位置に戻ってくるというイメージです。

遠心力と万有引力考

これについては、次のブログに記載します。
では、この辺で

楕円軌道は、円軌道＋単振動としています。しかし、厳密にいうと違います。
どのくらい違うかというと、火星の軌道でいうとこのくらいです。
・青線が楕円軌道、
・赤線が円軌道＋単振動
になります。
ごくわずかといえばわずか、大きいといえば大きいです。

水星の軌道では。

こんな感じです。
だんだん、違いが大きくなってきました。　
でも、これくらいならいいかなってところですが。

さらに、ハレー彗星のような、長周期の軌道では、

楕円軌道と円軌道＋単振動は全く別物です。

ということは、

楕円軌道って円軌道＋単振動じゃないじゃないか。ということになります。
その通りです。これで、楕円軌道＋単振動の理論は崩壊か〜

いや少し、待ってください。
完全な単振動では、ないけれども、基準軌道（a）を中心に、振幅（f）で振動していることは間違いありません。

そこで、極座標で中心天体から、周回天体までの距離rを長半径a、短半径b、焦点距離f、角度θで表すと、

となります。
よくある式は、離心率ε = f / a と　半直弦l=b²/aを使って

ですが、あまり、離心率と半直弦が好きでないので、
a,b,fの式にしました。
好き嫌いかよってことですが、好き嫌いです。（笑）
本当は、a+fcosθが、円＋単振動になっているからです。
これは、曲座標（r）は、普通の単振動ではありませんが、周期は単振動と同じです。

ふつうの単振動と違う理由は、静的エネルギーの大きさが、距離に反比例して変化するからです。
次の図をみてください。

位置（P0）の衝突で増えた衝突エネルギー（I₀）は、
動的エネルギー（A₀）と静的エネルギー（S₀）の差（A₀ ーS₀）になります。
そして、衝突した時の衝突エネルギー（l）＝０になる点が、周回天体の鎮座する位置（a）です。
例えば、任意の位置（r）では、動的エネルギー（Ar）は、図より、
Ar = 2Sr -Sa
と表されます。
これは、衝突エネルギーと同じ大きさの反対のエネルギーが
（これは、力の作用反作用を模して作用反エネルギーとでもいいましょうか）
安定する場所（静的エネルギー）に対して、働くからです。（言い切る）
そして、動的エネルギーは、近点（Po）で最大で速度が速く、
遠点（c）で最小で速度は遅くなります。
このエネルギーの変化によって、周回天体は、楕円軌道上を動くことになります。
これは、なんとかして、周回天体は居心地のいい場所に行こうとするからです。（再び言い切る）
そこで、楕円の極座標（r）を円軌道＋変形単振動で表してみることにします。
変形単振動は。中心天体からの距離で変化する、
静的エネルギーの差を考慮した単振動という意味です。（本来の単振動ではないけど）
楕円軌道の極座標

の式から、角度θによる、振幅(fθ)を算出したいと思います。
ここで、この式はθ=0の時に近点になるので、
θ＝０の時に遠点にしたいので、（個人的理由なので、このままでもOKです）
分母をa-fcosθにします。
振幅（fθ）は、中心星から周回天体までの距離（r） から基準軌道（a）を差し引いた（r – a）いいので、

となります。（計算してみてください。b² = a² – f²を使います）

になり、円軌道と周期的に変化する振動になります。
これが、下図のように、楕円軌道の極座標になります。

結論

このように、周回天体は、鎮座する位置を求め、
静的エネルギーとバランスをとりながら、楕円軌道上を動きます。

ということです。（これはあくまでも個人的意見です。）