ケプラー | Endy Laboratory

月の軌道モデリングしてみた

月の軌道モデリングといっても、上のグラフではよくわからないと思います。
少し説明すると、
地球の中心から月の中心までの距離を「地心距離」といいます、
地心距離については、国立天文台の地心座標で計算できます。

上の式のy2が地心距離になります。（私が作ったモデリング式です。）

この形のグラフの場合、下に地球があり、赤いグラフが時間による月の地心距離になります。

wikiPediaによると
現在の月の
平均軌道半径（基準軌道半径）384,400 kmです。

地球に近い時（ある期間で一番近い時を最近では「スーパームーン」といいます）
近点：354,400 km~370,400kmと幅があります。
また、地球から一番遠い時
遠点：404,064 km~406,712km
とどうように幅があります。

普通の天体は、近点と遠点が「固定」なのですが、（ケプラーの第一法則「惑星は楕円軌道」になります。）
月は遠点と近点が「変動」します。

それが月の軌道はエキセントリックと言われる所以です。

因みに実際の月の地新距離は

です。

私が、作成した式y2とよく似ていませんか。
遠点の変動と近点の変動がほぼほぼ似ていると思います。

月の地心距離のモデリング式の解説

ここから先は、興味ある人だけ見ていただければOKです。

まず、月のエキセントリックな軌道の原因は、
このホームページのタイトルになっている、
「Once upon a time the moon impacted twice.」（月は、かつて２度の衝突があった）
というのが、独自理論です。

国立天文台の理論は、太陽の影響という理論です。
「出差」「二均差」「年差」「中心差」によるということです。
詳しくは、国立天文台の月の公転を参照ください。

月へ小惑星が二重衝突したという推論ですが、次のように推論しました。

（１）月は、当初、基準軌道半径356,400kmで円軌道上を動いていました。
（２）第１衝突
次に、第１の衝突があって、
月は基準軌道半径360,600kmで、振幅4,200kmの振動する軌道になりました。
次のような地心距離のグラフになります。

なぜ振幅4,200kmかというと、
現在、近点で振幅7,000km（変動は14,000km）の変動をしていて、
遠点で振幅1,400km（変動は2,800km）をしています。

近点と遠点の振幅合計が8,400kmなので、
その半分の振幅があれば、近点と遠点の変動になる。のではないかと算出した値です。

波動計算は、あまり得意ではないので、
(数学ガールの物理ノート/波の重ね合わせ　結城浩著　SB Creativeを参考にしました)
勘で算出した値ですが、第２衝突のときの計算をしたら、意外にしっくりきました。

基準軌道半径が356,400kmから360,600kmに変わったので、
ケプラーの第３法則から公転周期(T1)は、（356,400/360600）^(3/2)倍になります。

（３）第２衝突
次に、第１衝突でできた楕円軌道（振幅4,200kmの基準軌道（360,600km））の
基準軌道（360,600km）から2,800kmのところ（363,400km）で、
小惑星と月の第２衝突が発生しました。

その衝突により、振幅21,000kmの振動が発生し、
現在の基準軌道半径（384,400km）になりました。
第２衝突は、かなり大きかったと予想されます。

第１衝突でできた基準軌道は、360,600kmから384,400kmに変化したので、
当初基準軌道の公転周期(T1)からは(356,400/384,400)^(3/2)倍になります。

そのため、当初の公転周期（356,400km）と
第２衝突後の公転周期（384,400km）の差の
比率(1-（356,400/384,400)^(3/2))の差がでます。
その差が、軌道にうなりになります。

そして、衝突した位置が第一衝突後の基準軌道（360,600km）から
（2,800km）遠点に近い位置なので、
正弦波（ここでは余弦波で計算）の位置を-2800kmずらした正弦波と同等の軌道になります。
それが、下グラフのようになります。

この振動に、基準軌道が変化と第２衝突でできた振幅21,000kmの軌道が、合成されます。
すなわち、第２衝突後の軌道は、

地心距離＝第１衝突の楕円軌道のうなり軌道 + 第２衝突の楕円軌道＋第２衝突後の基準軌道

の式になります。
これは、最初に記載した式y2になります。

月の２重衝突による地心距離の関係を次の表にあらわしました。

このことからわかること

このことから、月に小惑星が２回衝突すると、月のエキセントリックな軌道の説明がつきます。
これは、単に月のエキセントリックな軌道が、
わりと簡単な式で表されただけでなく、次のことがわかります。

（１）月の一番居心地の良い場所は、基準軌道上です。
　　　そして、そこからはずれると、そこに戻ろうとします。

（２）基準軌道上を円運動しています。
　　　つまり、ケプラーの第一法則のように楕円軌道の１つの焦点に中心天体があるのではなく、
　　　円軌道の中心に中心天体があるということです。

（３）基準軌道を中心に、振幅Aで振幅しています。
　　　遠点は基準軌道＋振幅A、近点は基準軌道ー振幅Aになります。

このことから、周回天体（月）は、インテリジェントに居心地が良い場所に移動します。
（猫のチャーは、坊さんの座布団に鎮座する　理論）

そして移動した距離を振幅として振動した軌道になる、
という推測も大方間違いではないわけです。

居心地が良い場所とは、ニュートンが言っている遠心力
（このサイトでは「動的エネルギー」）と引力（このサイトでは「静的エネルギー」）が
バランスするところのことを意味します。
動的エネルギーと静的エネルギーについては、詳細は、このブログを見てください。

この理論をエクステンションすると、「万有引力がなくても、天体は軌道上を動く」ということになります。

遠心力と万有引力考

エンディの法則のイメージは、前回のブログでわかっていただけたとおもいます。
簡単にいうと、
周回天体が誕生した当時、周回天体は中心天体の周りを円軌道しています。
衝突によって、衝突後の円軌道を中心に振動します。
振動の幅は、ケプラーの第一法則の焦点距離と同じになります。
ということです。

前回の説明では、その原理を「遠心力」と「万有引力」を使って話してきましたが、
じつは、この「力」を使った説明には、無理があります。
それは、力には作用反作用の法則があるからです。
ニュートンの万有引力は、中心天体と周回天体がお互いに引っ張ります。
周回天体においては、遠心力が万有引力の反作用になります。（本当は少しおかしいのですが、とりあえずスルー）
中心天体においては、周回天体の万有引力がはたらくため、その力に対する反作用が必要となります。
しかし、それは無視しています。
ニュートンもそこはわかっていましたが、無視しました。（多分その力の証明ができなかったと思います）
つまり「力」を使うと、作用反作用の法則で天体の軌道を説明するには無理があります。
そこを解決せず、３体問題を考えると、とてつもなく変な動きをすることになります。

では、どのように考えればいいのでしょうか。

エネルギー論

そこで、エネルギーで考えてみることにします。
エネルギーは、供給したり排出され移動するものです。
イメージは、「ニュートンのゆりかご」です。
そこには、作用反作用の法則は必要ありません。
エネルギーが次の鉄球に伝わっていくだけです。

そこで、遠心力に当たるエネルギーと
万有引力にあたるエネルギーの２つを、
周回天体が保持していると考えてみます。

遠心力のエネルギーは、周回天体が動くために外部からもらったエネルギーです。
万有引力のエネルギーは、中心天体から宇宙空間を通じて供給されます。
万有引力のエネルギーは、中心天体と周回天体の距離によって決まります。

と仮定すると、
周回天体の中でエネルギーはバランスします。
つまり、この２つのエネルギーの増減で、周回天体はインテリジェントに動くことができます。
詳細な説明は省きますますが、イメージはロケットです。
ロケットは、燃料噴射できますが、天体は燃料噴射できないので、
外部からエネルギーが供給されるしかありません。
衝突などにより、周回天体に与えられたエネルギーは、遠心力のエネルギーになり、
動くために使用するエネルギーのため「動的エネルギー」と呼ぶことにします。
万有引力のエネルギーは、留めておくために使用するエネルギーなので「静的エネルギー」と呼ぶことにします。
天体が噴射することは、あまりないのですが、大きな爆発とかあれば、軌道に影響することが考えられます。
また、他の天体が衝突することによって、動的エネルギーの増減が考えられます。

図で書くとこんな感じです。
つまり、「静的エネルギー（Static Energy）」(Sa)と「動的エネルギー（Dynamic Energy）」(Aa)がバランスするように働き中心天体（EM）の周りを周回天体（Em）が回るということになります。

こんなイメージでした。

ケプラーとニュートンの法則について

両者とも、天文学に大きな影響を与えた２人です。
教科書にも登場しているので、知らない人はほとんどいないのではないかと思います。
ケプラーは、ケプラーの法則をつくり、ニュートンは、万有引力の法則を作りました。
彼らはいろいろな業績がありますが、それらの法則が一番有名ですね。

ケプラーの法則は、師匠のチコ・プラーエの膨大のデータをもとにケプラーの法則を作りました。
プラーエは、天体は円軌道上を動くと思っていたので、
自分の収集したデータは円軌道上を動いていないかったため、
研究をあきらめてしまいました。
あきらめたかどうかは、すみませんわかりませんが、
結論にたどりつかなかったわけです。
そのデータを元に、解析したのが、弟子のケプラーでした。
ケプラーは、データ解析した結果、
天体は楕円軌道上を動くことを発見しました。
さらに、面積速度一定の法則や、調和の法則を作りました。
これらの３法則は、ケプラーの法則と呼ばれてます

ケプラーの法則

第1法則（楕円軌道の法則）惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く。
第2法則（面積速度一定の法則）惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である（面積速度一定）。
第3法則（調和の法則）惑星の公転周期Ｐの2乗は、軌道の長半径Ａの3乗に比例する。

詳しくは述べませんが、
これらのことがわかった分けです。

ケプラーの法則考

ここからは、私見なんですが、

第２と第３法則については、データに基づいて、数学的に正しいので間違いはないと思います。
しかし、第一法則については、データからの推論ですが、
あくまでも、現在の軌道をもとにしたケプラーの考察です。
太陽系の天体が４６億年間同じ軌道上を動いていたというのは無理があります。
もしも、軌道が変化したとすれば、
天体が誕生してから、現在までの軌道の変化の過程を考える必要があります。
そこで、天体が生まれた時に遡ってみます。
天体は、何も力が加わらなければ、等速直線運動します。
しかし、２体間の場合は、等速円運動になります。
ですから、何も力が加わっていない状態を、誕生当時の軌道としてみます。
その円軌道がなんらかの原因で今の楕円軌道になったと考えてみます。

では、その原因はなんでしょうか。
「天体間の衝突」や「自爆」です。それくらいしか思いつかないのですが。
ここでは、「天体間の衝突」について考えてみます。

中心天体の周りを回る周回天体の「円軌道」では、力が働いていない状況なので、バランスがとれています。
ここでは、便宜的に「遠心力」と「中心天体と周回天体間の万有引力」のバランスということにします。
いいかえれば、そこが一番居心地がいいわけです。
しかし、天体間の衝突が起こると、バランスが崩れる分けです。
「遠心力」が増減する分けです。
そうなると、天体はバランスが取れる場所に移動するはずです。
遠心力が増加した場合（周回天体の進行方向に衝突）、
周回天体は中心天体から離れて、天体の速度を落としていきます。
これは、ケプラーの第２法則からわかります。
速度が落ちると、遠心力が減ります。
また、中心天体から周回天体が離れると中心天体と周回天体間の万有引力が小さくなります。
ニュートンの法則から、天体間の距離の２乗で、万有引力は小さくなります。
そうすると、どこかの天体間の距離でバランスがとれる位置があるはずです。
そこが、遠心力と万有引力がバランスとれている場所なので、
その位置で、円軌道していると考えられます。

しかし、衝突した位置から、衝突後バランスがとれている円軌道の位置まで移動するため、
それを超えて、衝突位置の反対側まで周回天体は移動します。
その移動距離が、衝突位置から衝突後の円軌道の位置までの距離と同じ距離、
衝突後の円軌道から移動すると考えると、
その距離は、ケプラーの第１法則の太陽と楕円軌道の中心までの距離、
楕円軌道のいわゆる焦点距離と同じ距離になります。

これは、楕円軌道の中心が軌道の中心ではなく、中心天体が軌道の中心と考えられるということです。
ケプラーの第１法則は次の図になります。