単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。

簡単に言うと、「有限だけれども果てがなく（単連結）、穴のない３次元多様体は、必ず３次元球面（＝４次元球の表面）になります。」ってことですが、ちっとも簡単じゃないなあ

これは、すでに証明されているのですが、
宇宙の構造に直結していると言うことなので、面白そうです。

実際には無理ですが、とてつも長いロープをつけたロケットを地球から宇宙に飛ばし、ロケットが戻ってきたら、そのロープを手繰り寄せ、どこにも引っ掛からなかったら、宇宙は球の構造をしているってことです。
そもそも、ロケットにロープをつけるって前提が不可能ですが、イメージということで！

ドーナッツみたいな構造だと、穴で引っかかってロープが手繰り寄せられないので。

そりゃそうですが、宇宙って有限か？
ってところがちょっと引っかかります。

無限だったら、ロケット戻ってこないし！？

おそらく、今の人間の思考では「無限」を正確に理解できないでしょうね。
わたしも、果てがないってわかりません。

今日は、つぶやきでした。

公転周期（Tc）は、基準軌道城で出発点まで一周して戻ってくる時間です。

振動周期（Tf）は、楕円軌道の近日点から近日点に戻ってくるまでの時間です。

近点移動も原理は、公転周期（Tc）と振動周期（Tf）が異なるためです。（ここ大事！）
グラフで描くとこんな感じです。
赤線：公転周期（Tc）　黒線：振動周期（Tf）

質量変化

公転周期（Tc）と振動周期（Tf）が異なる＝質量の変化ということになる。
これはバネにぶら下げたおもりの振動周期は、バネ定数kと質量m_fでの式からわかる。

公転周期Tcの時の質量をm_f,、振動周をT_f、バネ定数kとすると、振動周期の時（近点移動）の質量m_fは次のように表されます。

<proof>

水星の質量変化の計算

mcを3.30103E+23kg、公転周期Tc=2111.17121h、振動周期Tf=2111.17347とすると
振動集周期Tfのときの質量m_f=3.30104E+23kgになります。

前にも。述べましたが、近日点移動しているのは、水星ばかりではありません。
地球も近日点移動しています。
どのくらいかというと、水星の約２倍です。

近日点移動は、これまでに説明したように、
質量の変化です。

地球の場合、計算すると、
増加量は、約1e²⁰kgになります。

衝突した天体は、
予想ですが、3e²²kgの質量とすると、
衝突速度、190,000 km/h　位で衝突したことになります。
大きさは、半径1100kmになります。

これは大体月の大きさになります。
もっとゆっくり衝突すれば、
大きさはもっと大きくなります。

ジャイアントインパクト説もあながち間違いではないかと思います。
よく調べないとわからないですが。

衝突による近日点移動計算

g= 6672.59e-14 #万有引力定数 理科年表2015より
UC = 1 / 1000^3 × 3600^2 × 1 #単位変換　m3 s – 2 kg – 1 —> km3 h – 2 kg – 1
G =g × UC #万有引力定数( km^3 h – 2 kg – 1 )
c = 299792458 / 1000 × 3600 #光速( km / h )
U = G / c^2 #重力定数単位(（Endy）

天体データ（M:親天体　m子天体）

M = 1.9891e30 #太陽質量
m = 5.97219e24 #水星質量
ap = a – (aa – a) #近日点
aa = 152098233 #遠日点
a = 149587816.87 #基準軌道半径
ρ = 5.51e12 #密度
margin = 11.45 #年間近日点移動角度（秒）

Sa( M;m;a ) = m × c^2 × ( U × ( M + m ) / a ) #静的エネルギー関数

近日点移動

Sa = Sa( M;m;a )#近日点静的エネルギー関数
v = sqrt( Sa / m ) #基準軌道速度
Sax = Sa( M;m + Δm;a )
vx = sqrt( Sax / ( m + Δm ) )
Tc = 2 × π × a / v
ω = a / v

近日点移動

rad= margin / 3600 × π / 180 × 1 / ( 365 × 24 / Tc ) #一周の近日点移動角度
ΔT = rad × ω #近日点移動遅延時間（h）
mx = m × (( Tc + ΔT ) / Tc)^2 #振動周期比較による質量
Δm = (mx – m) #質量誤差
rr = ( Δm / ( 4 / 3 × π × ρ ) )^( 1 / 3 ) #質量に対する半径（予想）

衝突天体

Sap = Sa( M;m;ap ) #近日点静的エネルギー
I = abs( Sap – Sa ) #衝突エネルギー .
Saa = Sa( M;m;aa ) #近日点静的エネルギー
Ix = abs( Saa – Sa ) #衝突エネルギー

mi = Δm × 300 #衝突天体質量（予想）
vi = sqrt(Ix /( mi ) ) #衝突速度
v
ri = ( mi / ( 4 / 3 × π × ρ ) )^( 1 / 3 ) #衝突天体半径

双曲線軌道については、これまでの何回か、思考の途中経過をブログに掲げてきました。
しかし楕円軌道のように、衝突エネルギー（I）を使って上手く表せないだろうかと、
よせばいいのに、研究して見ました。

楕円軌道については、円軌道に対して、進行方向または進行方向逆に、
衝突した場合だけを考えてきたわけですが、

この図を見た時に、実は中心天体方向の衝突エネルギー(IV)については、
何も考えていなかったことに気づいたのでした。

双曲線の基準軌道（a）は、ロケット侵入の場合、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）でした。
ということは、基準軌道（a）をぐるぐる回っている天体、（ぐるぐるかよ）
基、周回している天体を考えた場合、
そこに中心天体の方向に動かすエネルギーが、
垂直方向の衝突エネルギー（IV）ではないかと。
そうすると、こんな軌道になるのではないかと、
妄想しました。

そして妄想を膨らめ、
もっと大きな衝突エネルギーだったらどんな軌道に！

この軌道は妄想ですが、
こんな感じではないかと、
これは振幅（f）が基準軌道半径（a）にかなり近づいた、
場合の妄想です。

それでは、妄想をもっと膨らめて、
振幅（f）が基準軌道半径（a）を超えたらどうなるか

こんな、感じではないかと。
これは、まさしく双曲線軌道。

ここで、
基準軌道上の静的エネルギー（Sa）は、影響圏にロケットが侵入した時の、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）です。
これは、基準軌道上（a）の位置エネルギーを基準０とすると、
振動（f）の位置の位置エネルギー（Pf）は、

で表せます。
ここで、位置エネルギーと書いてしまいましたが、
この位置エネルギーと同等の衝突エネルギー（IV）が、基準軌道（a）上で必要となり、
fの位置に行くまでに、衝突エネルギー（IV）を消耗し、
fの位置では、エネルギー総和がゼロになるはずです。
振幅（f）は、基準軌道（a）+近点距離(r)になります。

衝突エネルギー（IV）がわかっているとすると、
衝突エネルギー（IV）

近点（r）は、

r = f – a

になります。

まとめると

（１）周回天体の進行方向の衝突（水平衝突）と中心天体方向の衝突（垂直衝突）では、軌道形状が異なります。
（２）水平衝突は、基準軌道が移動し、そこを基準に単振動します。
（３）水平衝突は、衝突した位置の静的エネルギーの２倍の動的エネルギーになると、親が移動します。
（３）垂直衝突は、基準軌道を中心に、単振動します。
（４）垂直衝突は、基準軌道の静的エネルギーを超えると、双曲線軌道になり、影響圏を脱出し親が変わります。
（５）スイングバイのように、外部から影響圏に侵入した場合は、動的エネルギーを垂直方向と水平方向に分離し、
水平方向の動的エネルギーが静的エネルギーと同じになった時点で、影響圏に突入し、親が変わります。
垂直方向の動的エネルギーは、基準軌道の静的エネルギーになります。
基準軌道（a） から振幅（f）までに移動するために衝突エネルギー（IV）が必要になります。

までわかりました。
もう少しですな。

初期条件はこれだ！

（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R = 19.068 km/s (68,644.8 km/h))
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R = 14.06 °）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ = 94.96748 °）

（４）木星の質量（M = 1.89813 e²⁷kg）、ニューホライズンの質量（暫定m = 1000 kg）

これだけで、双曲線軌道を算出するのか〜
その通り。です！

求める値はこれだ！

（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、一つづつ行きます。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　A_R = m x v_R² = 1000 x 68,644.8² = 4.71211 e¹² je=kg・(km/h)²

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x cos²θ_R = 4.71211 e¹² x cos²14.06° = 4.43401E+12 je

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x sin²θ_R = 4.71211 e¹² x sin²14.06° = 2.78103E+11 je

（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
　　　基準軌道の静的エネルギー（Sa） = AV_R = 4.43401 e¹² je
　　
　　　・面積エネルギー（EA）
　　　　EA = Em x ac = 1.64144 e¹⁶ je・km
　　　　　　Em：質量エネルギー　Em =mc² = 1000 x 1.07925 e⁹ = 1.16479 e²¹ je
　　　　　　ac：光速時久順軌道半径　ac = U(M + m)= 7.42426 e^-31 km

　　　　a = EA / Sa = 370.193.8 km

（５）R：影響圏境界までの距離
　　　R = 2 x EA / SR = 11,804,557.74 km
　　　影響圏境界の静的エネルギー（S_R）
　　　
　　　S_R = EA / R = 1.39051 e¹¹ je = 1.39051 e¹¹

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　Rx = R x cosθ=7.06145 e11
　　　f = (-Rx + sqrt(Rx² + 4a(a+R)))/2
　　　= (-7.06145 + sqrt((-7.06145)² + 4 x 370,193.8 x (370,193.8 + 11,804,557.74)))
　　　= 2,694,705.8 km

（７）r：近点距離
　　　r = f – a = 2,694,705.8 – 370.193.8 = 2,324,512 km

（８）v_r：近点速度
　　　近点（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　
　　　S _r = EA / r = 1.64144 e¹⁶ / 2324512 = 7.06145 e¹¹　
　　　
　　　ロケットの動的エネルギーは。
　　　
　　　Ar = 2Sr + Sa =2 x 7.06145 e¹¹ + 4.43401 e¹² =5.84629 e12 je
　　　
　　　ロケットの近点速度（vr）　は、　　

　　　vr = sqrt(Ar / m) =sqrt(5.8429 e12 / 1000)
　　　　
　　　　 = 76,461.1 km/h（=21.24 km / s）

　　　となります。

ちなみに、「惑星探査機の軌道計算入門」での計算結果は、
基準軌道半径（半交軸）a = 3.7019 e⁵ km（当方：3.7019e5 km）
近点軌道速度　vr = 21.244 km/s（当方：21.24 km/s）
と、当ラボの結果とほぼ同じ値でした。

しかし、影響圏境界までの距離（Rは）
R=4.820e⁷ km（当方　1.1805 e7 km）となり、
約４倍の差が出てしまった。

どちらが正しいか、検証しなければわからないが、
概ね、この考え方には、間違いがないのではないかという
確証を得ることができた。

双曲線は、本当によくわからず、混沌とした日々が続いていましたが、
なんと！なんとです！わかりました。
またまた！随分前にわかったって言ってじゃないですか。
そっ！そうなんだけど。

今度こそは真相に近づいたのではないかと思うわけです。
本当ですか？！
狼爺さんになりますよ〜

まあ、そこをお通りの皆々様聴いておくんなせえ
まあ、聴くだけ聴いてやってもいいけど。

悪いなはっさん！
ちょっとお待ちなすって

三文芝居はこの当たりで。

この間ブログで、
（１）影響圏侵入時の動的エネルギーと侵入角度
だけで、軌道がわかるはずだと、豪語してしまいました。
だから、（２）近点距離がわからなくても、
計算で近点距離が算出できるはずだ！
とも言ってしまいました。

皆様、すいません。
それは無理でした。

はっ〜！どういうことですか〜狼爺さん！（怒）

まあ、聴いておくんなせえ。

双曲線軌道をこんな具合に最初考えていました。

つまり、
aが半交軸、cが焦点距離で、PF’ – PFは一定。（bはなんて呼ぶかはわからない？！）
これは、数学的には正しいのですが、
双曲線軌道で考えると、bの存在がよくわからないのですよ。

どうすれば、bを求めることができるのか！ということです。

だから〜
どうして求めたんですか！

無視した。

は〜っ！無視したってどういうこと。？
（もはや、やばい人の話を聴いているかのようになっている）

こんな風に考えたんです。
とホワイトボードに、図を描き始めた（おいおい誰が描き始めたんじゃい）

「誰にも言わないでくださいよ」（なんじゃ！そんなにやばいことなのか）

ホワイトボードに描いた図がこれだ！

出たー！なんだかわからん。
とりあえず、順番に説明していきますよ。
当たり前だ！（何故かみんな怒り）

上の丸の中、小さいので拡大第するとこんな風になっています。

影響圏にロケットが侵入した図です。
影響圏ってなんだ？
ああ、影響圏というのは、例えば
地球から打ち上げたロケットが、
地球の俗にいう引力を振り切って、
木星の方向に向かって飛んでいる姿を想像してください。
地球の引力圏を脱出したロケットは、
太陽の引力圏に入って飛行します。
そして、しばらくすると、ロケットは木星の引力圏に入って、
木星の影響を受けて飛ぶようになります。

この木星の影響を受ける範囲を影響圏と呼びます。
（これは、私の愛読書である、
半揚稔雄先生の「惑星探査機の軌道計算入門」で使っていたので、使いました。）
この本は、宇宙飛翔力学の誘いという副題がついています。
誘われてしまいました。
興味のある人は、ぜひ読んでみてください。

それは、ともかく
影響圏に入った瞬間、これを影響圏境界と呼んで、
中心天体からの距離Rとします。
そこで、距離Rを半径とした、円軌道を想像してみてください。
ロケットは、その円軌道に対して、
侵入角度θ_Rで侵入したとします。

侵入した時の、ロケットの動的エネルギーをA_Rとすると！
円軌道の接線方向と、中心天体方向にエネルギーを分割することができます。
ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーをAH_R、
中心天体方向の動的エネルギーをAV_Rとします。

そうすると、侵入角度θ_Rを使って、
と言って、ホワイトボードに式を書き始めた。

AHR　=　AR x sin²θ_R
AVR　=　AR x cos²θ_R

こんな風に円軌道接線方向と中心天体方向に分けることができます。
まあ、物理学に長けた皆様なら、特に説明はいらないでしょう。（おいおい、上から目線かよ）

次の、双曲線軌道の速度の式は良く知られていますね。

と、Wikipediaを見ながら、ホワイトボードに書いた。
この式を両辺二乗して、ロケットの質量をmとして掛けてみると、
左辺は、mv^２となって、ロケットの動的エネルギーになります。
右辺は、重力定数μは、万有引力定数Gと中心天体と
ロケットの質量を合算した質量（M+m）を使って

μ = G(M+m)
と表せるので、

となります。
これは、任意の位置（r）の静的エネルギー（Sr）と
基準軌道半径上の静的エネルギー（Sa）を使って、
2Sr + Sa
と表せるので、

双曲線起動上の任意の位置（r）の動的エネルギーは、
A_R = 2Sr + Sa
と表すことができます。よね

はーい１みんな起きてください！

ここ大事ですから、しっかりノート取ってくださいよ！

ここで、静的エネルギーSrは、
半径（r）の円軌道の接線方向の静的エネルギーになります。
ということは、Saは、中心天体方向の静的エネルギーになりますよね。

感がいいみなさんならお気づきでしょうが、（またまた、上からきた）
と言って、ホワイトボードに、式を描き始めた。

A_R = 2S_R + Sa = AH_R + AV_R

こういうことです。
任意の位置を影響圏境界の中心天体から距離（R）とすると

接線方向の動的エネルギーは、AH_R =２S_R
中心天体方向の動的エネルギーは、AV_R = S_a

となります。

これはどういう意味なんでしょうか？
と言って、またホワイトボードに図を書き始めた。

一番上の赤い曲線が中心天体に影響を受ける上限の静的セルギーの曲線です。
その下の青い曲線が、基準軌道となる静的エネルギーの曲線です。
赤い曲線は、青い曲線の２倍です。
これは、第２宇宙速度になります。

ロケットが中心天体に近づいてくると、
距離Rより大きい場合は、
その位置の基準軌道の静的エネルギーの２倍より、
接線方向の動的エネルギーが大きいので、
影響圏外。
つまり、中心天体の親の影響圏にいます。
例えば、中心天体を木星とすると、
ロケットが、距離R以上遠い場合は、
太陽の影響圏にいることになります。

しばらくして、ロケットが距離Rの位置にきたときに、
距離Rの円軌道の接線方向の動的エネルギーが、
影響圏の赤い曲線の静的エネルギーと同じになります。

その時点で、木星つまり、中心天体の影響圏に入ることになります。

しかし、ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーより、
ロケットは大きな動的エネルギーを持っています。
その余った動的エネルギーは、
中心天体方向に働きます。
そして、双曲線軌道の基準軌道半径（a）の
青い曲線の位置(a)の静的エネルギー（Sa）と同じになる。というわけです。

そして、間髪入れず、次の図をホワイトボードに描き始めた。

ロケットは、一番安定する基準軌道上（a）を移動しているけど、
実際は、双曲線軌道を動くわけです。

言ってる意味わからない〜

楕円軌道も、基準軌道上を動くけれど、
見かけ上は楕円軌道になってるのと同じですよ。

ざっくりした、説明だなあ。
楕円軌道で説明した、単振動の振幅（f）が、
基準軌道半径（a）より小さい場合は楕円軌道で、
基準軌道半径（a）より大きい場合は、
双曲線軌道になるといことですよ。

強引だな〜。

結局、双曲線軌道は、ロケットが単振動して中心天体を超えてしまうって、
イメージですかね。

ふーん

また、何やら、ホワイトボードに図を書き始めた。

これが、楕円軌道のイメージです。
aが基準軌道半径。ニュートンは長半径と言っていました。
意味は違うけど、長さは同じです。
意味違うって、どういうこと？
ニュートンは、楕円の中心が基準にしたので、こんな感じかな

ニュートンは楕円軌道の長半径を（a）として、
そこから中心までの距離を焦点（f）にしたのだけれど、
我がラボラトリーでは。（おいおい急にラボラトリーかよ）
中心天体からの長半径と同じ距離を（a）として、
単振動の振幅を（f）としたのです。
だから、長さは同じですけど、意味が違うってことです。

ふーん。まあ、どっちでもいいかあ

それは、仕組みが違うので、違うものなのです。（逆ギレ）
でも、よく見てください。
焦点距離（単振動振幅）は、
長半径（基準軌道半径）より小さいでしょ。

それで〜

双曲線なんですが、またホワイトボードに図を描き端めた。

双曲線軌道は、焦点距離（単振動振幅（f））が、
半交軸（基準軌道半径（a））より大きいでしょ。
だから、閉じない曲線＝双曲線軌道になるんですよ。

騙されてません？
いや！真実は一つ！

ということで、双曲線軌道の最近点（r）は、（f）-（a）になるのです。

ちょっと整理

この辺で、一旦整理します。（単位は書きませんです。）

事前条件はこれです。
（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R）
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ）
わかりにくいので、ホワイトボードにまたまた図を描き始めた
。

そして、求めたい値はこれです。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、順番に行きますよ。

（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　ロケットの質量を仮にmとします。
　　　そうすると、
　　　
　　　AR = m x v_R²

　となります。

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A V_R = A_R x cos²θ
　　　
　　　となります。
　　　そして、この値は、基準軌道半径（a）の静的エネルギー（S_a）になります。

　　　Sa = AV_R
　　　
　　　です。

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A H_R = A_R x sin²θ

　　　となります。
　　　これは、影響圏境界半径.（R）上の静的エネルギー（S_R）の２倍になります。
　　　
　　　S_R = AH_R / 2

　　　となります。
　　　ロケットが影響圏境界に侵入した時は、
　　　脱出速度（２S_R）と同じになり、親が変わります。
　　　すなわち、影響圏境界とは、AH_R＝２S_Rの位置になります。

（４）a：基準軌道半径
　　　宇宙エネルギー定数（U）、光速（c）中心天体質量（M）、ロケット質量（m）を使って
　　　質量エネルギー（Ea = mc²）と
　　　光速時基準軌道半径（ac = U(M+m））より、

　　　面積エネルギー（EA＝Ea x ac：）

　　　が得られます。
　　　このエネルギーは保存されるので、
　　　基準軌道上の静的エネルギー（Sa）を使って、

　　　基準軌道半径（a）は、

　　　a = EA / a

　　　となります。

（５）R：影響圏境界距離
　　　面積エネルギー（EA）と影響圏境界（R）の静的エネルギー（SR）を使って、

　　　R = EA /SR

　　　となります。

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　中心天体の基準線に対する角度（θ）（わかりにくいので、前図「双曲線相関図」を参照してください）と、
　　　基準軌道半径（a）、影響圏境界距離（R）を使って、

　　　Rx = R x cosθ とすると

　　　になります。

（７）r：近点距離
　　　振幅の最小値（焦点距離と同値）（f）と　基準軌道半径（a）を使って、’

　　　r = f- a

　　　となります

（８）v_r：近点速度
　　　近点距離（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　面積エネルギー（EA）を使用して、

　　　Sr = EA / r

　　　となります。

　　　ロケットの動的エネルギー（Ar）は

　　　Ar = 2Sr + Sa

　　　 なので

　　　近点速度（vr）は、近点の静的エネルギー（Sr）とロケットの質量（m）を使って、

　　となります。

これで、双曲線軌道が、求まります。

次回は、具体的な値を使って検証します。

ふー

なんと、気がつけば６月もまじか、前回ブログを書いたのは、４月だった。
時の経つのは早いもので、コロナと戦いつつ、在宅ワーク。
在宅ワークも、エコノミー症候群を発症しそうなくらい、椅子に座っている。
結局一日うちにいるから、部屋は散らかり放題。
こんな生活、誰が想像しただろうか！
そんなこんなで、１ヶ月「双曲線軌道」について考えていたのですが、
まあ、仕事をしろ！ってことかもしれませんが、そこは大目に見て。

双曲線軌道をなんとかエネルギーで解こうとしました。
前にも、ブログとかページに載せてはありますが、
個人的に気に入らない箇所があってそれを解明しようと、
飯も食わずに考えておりました。
というのは全くの嘘ですが。

気に入らないところというのは、
初期値です。
宇宙船は、インテリジェントにエネルギーコントロールしながら、
宇宙空間を進んでいくのですが、
まあ、ここまでは、このサイトで証明してありますので、
詳細は語りませんが、お許しを。

今までの初期値は、
（１）宇宙船の動的エネルギー（AR）
（２）影響圏に入る時の、基準軌道に対する入射角（θ）
（３）近点（r）

の３項目でした。
この（３）近点が気に入りません。
そこもなんとか、（１）（２）だけで出ないものかと、
四苦八苦

それを考えて、早2ヶ月。
いまだに、解明できておりません。（汗）

双曲線の式は、

です。
a,b,と焦点距離(c)の関係は
a² + b² = c²
です。
ピタゴラスの定理からですが、
そんなことは、わかるわ！ってことですよね。
近点(r)は、上図のa と　F(c,0)の距離なので、
c – a
で求まります。

そして、
aは、前述の
（１）宇宙船の動的エネルギー（AR）
（２）影響圏に入る時の、基準軌道に対する入射角（θ）
から求めることができます。

影響圏突入した、中心星からの距離をRと仮にします。
そこでの、宇宙船の動的エネルギーをARとします。
そして影響圏への入射角をθとすると、
中心天体方向のエネルギー（AVR）は、
中心天体からaの基準軌道の静的エネルギー（Sa）になります。

これは、影響圏突入時の距離Rでの、
基準軌道方向の動的エネルギー（AHR）、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）、
基準軌道の静的エネルギー（SR）、
基準軌道の静的エネルギー（Sa）より

AR = AHR + AVR = 2SR + Sa
なので、

AHR=2Sr
AVR=Sa
となります。

エネルギー面積（EA）は、
宇宙船の質量エネルギー(Em)と
光速時軌道半径(ac)
で求まりますから、（なんで〜と思われるかもしれませんが、スルーで）

半交軸(a) = EA / Sa
影響圏突入時の距離(R)=EA / SR

で求まります・

ここまでは、OKfです。

ところが、bを求めるためには、cがわからないと求まらりません、
そして、c を求めるには、bがわからないと求まらないという、
無限ループ。
ブラックホールじゃないんだから、
出てこいやー
と言いたいところですが。
いくら呼んでも出てきません。

あ〜ここまでか。

と、解明に向け続きを考えることにします。