まず、ニュートンがどのようにしてケプラーの法則からニュートンの法則を導いたかを説明してみます。
ニュートンは、惑星が太陽の周りを周り続けるのは、惑星と太陽の間に引力が働くためだと考えました。そして、引力の大きさは、ケプラーの法則から惑星と太陽の距離の２乗に反比例し、惑星の質量に比例するということを導き出しました。
さらに、この力は、惑星と太陽との間にだけ働くのではなく、あらゆる万物の間に働くと考えました。
これを「万有引力の法則」(Law of the Universal Gravitation)と言います。リンゴとつきの話は有名ですが、真実かどうかはわかりません。
証明はこんなふうにやったらしいです。
ニュートンは、ケプラーの法則から次のようにして導きました。
計算を簡単にするために、惑星は円運動をしていると仮定します。
ケプラーの第二法則より等速円運動になります。
ここで、
F:太陽の惑星に対する引力 [kg・km2・h-2] …unknown
F’:向心力 [kg・km2・h-2]
Fs:惑星の太陽に対する引力 [kg・km2・h-2] …unknown
FG:万有引力 [kg・km2・h-2] …unknown
M:太陽の質量 [kg]
m:惑星の質量 [kg]
r:円軌道半径 [km]
ω:角速度 [rad/h]
T:回転周期 [h/周]
とします。
（１）惑星に働く引力（F）
惑星に働く引力（F）と惑星の向心力(F’)は等しいので
F = F’ = mrω2
ここで
ω = 2π/Tより
F = mr(2π/T)2 = 4π2m(r/T2) …①
ケプラーの第３法則の周期の２乗と軌道半径の３乗の比は一定より
T2/r3 = k(const.)
T2/r = kr2 …②
②式を①式に代入すると
F = 4π2m/kr2
K = 4π2/k(const.)と置くと
F = Km/r2 …③
③式は
引力は、惑星の質量に比例し、軌道半径の２乗に反比例するということを表しています。
（２）太陽に働く引力（Fs）
作用反作用の法則により、惑星も太陽を引っ張るので、
太陽に働く引力は、太陽の質量に比例し、惑星からの距離の2乗に反比例するので
Fs = K’M/r2…④
となります。
③式と④式より
陽と惑星の引力は、太陽と惑星の質量に比例し、
軌道半径の２乗に反比例しなければならないので、
FG = GMm/r2…⑤
となります。
ここでGは「万有引力定数」です。
そして、ニュートンは、この力が全ての物体の間に働くと考えました。
これを万有引力の法則と言います。
しかし
これって、本当に正しいのだろうか。
ここで、ニュートンも気づいていたようだが、この力はバランスしていないのだ。
つまり太陽が惑星を引っ張り、惑星が太陽を引っ張るのだが、
惑星は向心力と引力がバランスしているが、太陽は万有引力しかなく、惑星に引っ張られるだけなので、最後には衝突するというストーリーになってしまう。
そこで登場したのがアインシュタインの一般相対性理論である。
時間と空間を合わせた時空という考えを持ち込み、
重力は、時空の歪みであると説明した。
それならば納得いく。
要するに惑星に働く力は、時空の歪みによる重力と円軌道上を動いている向心力でバランスしているということになる。
そして、太陽には力が働いていない。
だから、衝突することはない。ということになり、なんとなく納得できる。
しかし、よくよく考えると次の疑問が湧いてきた。
疑問１
太陽に力が働いていないとすると、万有引力は存在するのか。
疑問２
太陽の惑星に対する引力⑤より、惑星の太陽に対する引力③、が同じはずなのに、値が異なっているのはなぜか。（２）太陽に働く引力(Fs)以降の説明に矛盾がある
疑問３
時空の歪みが重力⑤だとすると、向心力③とは大きさが異なることになる。それでは、何とバランスしているのか。