ティティウス・ボーデの法則は渦？

かなり前に、この法則についてブログにかいたのですが、
その時は、アームがいくつかに分かれて、太陽系は誕生したのではないかと考えたのですが、
もう一度、再考してみます。

そこで、もう一度、ティティウス・ボーデの法則はこんな感じです。

a / AU = 0.4 + 0.3 × 2ⁿ

ａ：軌道長半径（太陽からの平均的な距離）単位はAU

水星は n= –∞、金星は n=0、地球は n=1、火星は n=2、木星は n=4、土星は n=5 など

法則	該当天体
n	距離 / au	名称
-∞	0.4	0.39	水星
0	0.7	0.72	金星
1	1.0	1.00	地球
2	1.6	1.52	火星
3	2.8	2.77	ケレス
4	5.2	5.20	木星
5	10.0	9.54	土星
6	19.6	19.19	天王星
7	38.8	30.06	海王星
8	77.2	67.71	エリス
* エリスは参考

天王星までは、かなり良い線なんですが、海王星は完全にアウト、
記述してませんが、冥王星は39.44なので、n=7に近い感じがします。

エンディの法則

私が考えたのは、直角二等辺三角形の法則です。
直角の角に、ガスや岩石がたまりやすいのではないかという考えです。

台風や銀河がこの法則に近いかたちの渦を持っています。

そこで、定数を7.2（10⁷km）に設定して、計算してみました！

n=0,1,2,…
実際の距離は　a x 10⁷ km

惑星	遠点・近点	太陽系創成時円軌道半径	n	x10⁷ km
水星	遠点	69,817,445	0	7.2
金星	遠点	108,942,780	1	10.2
地球	近点	147,098,291	2	14.4
火星	近点	206,655,215	3	20.3
木星	遠点	816,001,807	7	81.5
土星	遠点	1,503,509,229	9	162.9
天王星	遠点	3,008,318,143	11	325.8
海王星	遠点	4,537,039,826	12	460.8

と言う結果です。
衝突方向（順、逆）によって、遠点、近点を選んでみました。
天体衝突という前提なので、平均軌道距離は使用しないことにしました。
どうでしょうか。
これはアームが一本という場合です。

スイングバイの影響圏の判定

影響圏の判定方法

宇宙船の動的エネルギー（A）をスイングバイする中心天体方向の動的エネルギー(AV)と円軌道方向の動的エネルギー(AH)に分ます。

円軌道の動的エネルギー（AH）とその位置の静的エネルギ（S）と比較します。

位置	円軌道方向の静的エネルギー（S）	比較	円軌道方向の動的エネルギー（AH）
①R’	S_R’	<	AH_R’
②R	S_R	=	AH_R（AV_R=Sa=基=軌道半径aの静的エネルギー）
〜			AH_r’=AHr’+AV_R_{(双曲線軌道の式より)}
③r	S_r	=	AH_r=2AV_r=2S_a
〜			AH_r’=AHr’+AV_R_{(双曲線軌道の式より)}
④R	S_R’	=	AH_R

影響圏は②〜④の間になります。

双曲線軌道の位置rの速度は、
: $v=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}+\frac{1}{a}\right)}$

となりますので、双曲線軌道の位置rエネルギーは、

μ は万有引力定数と中心天体＋周回天体の質量の積
になります。

動的エネルギーと静的エネルギーで表すと、

質量エネルギーEm
最小基準軌道半径 ac
宇宙エネルギー定数U

を使って表すと

になります。（②〜③、③〜④の間）

この方法ならば明確に、影響圏内か、影響圏外かの判断がつきます。

どうでしょうか。
エネルギー曲線でみるとこんな感じです。

双曲線軌道完成しました！

前に、「双曲線軌道ついにわかった！」というブログをかきましたが、

その時に、具体的な例を載せますと言って、載せてなかったので、
載せることにしました。

中心星は「木星」として、木星から距離Rのところで、木星の影響圏に入ることにします。
そして木星から、距離aのところで「最近点」となり再び距離Rのところに戻っていく設定にします。

エネルギー分布図（下図）は、赤線が脱出境界（静的エネルギーの２倍）青線が静的エネルギー曲線になります。

動的エネルギーAXで影響圏に突入したとします。
AH_Rは、影響圏境界Rの円軌道方向の成分の動的エネルギー、
AV_Rは、影響圏境界Rの木星に向かってている成分の動的エネルギーになります。

ロケットの動的エネルギーは、

AX = AH_R + AV_R

になります。

ロケットは、木星の影響圏に入り、影響圏境界で、
水平静的エネルギー（AH_R）は,木星からの距離Rの静的エネルギー（SR）の２倍（第二宇宙エネルギー）になるので、

AH_R = 2 x SR
となります。

垂直方向の動的エネルギー（AV_R）は、

AV_R = AX – AH_R
になります。

AV_Rはaの基準軌道の静的エネルギーSaと同じになります。

（双曲線の惑星から距離rの動的エネルギー（AX）は、AX＝２Sr+Saと表されるので）

Sa = AV_R

最近点2aでは、AXが加速してAX’になり、
Saとバランスするので、

AX’ = 2 x Sa

になります。

エネルギーの相関図はこのようになります。

これらを踏まえて、木星を利用したスウィングバイの双曲線軌道を計算してみます。

例　木星の影響圏内の双曲線軌道

＜前提＞
木星の質量（M）：1.89813 x 10²⁷kg
宇宙船の質量（mx）：1.0 x 10³kg
影響圏境界までの距離（R）：1.45536 x 10⁷km
進入速度（vx）：6.8645 x 10⁴km/h

AX = mx x vx² = 4.71211 x 10¹² je

＜静的エネルギーの計算＞
Emx = mx x c² = 1.16479 x 10²¹ je
acx = U(M+m) = 0.00141 (U=7.42426 x 10^-31 km /kg)

SR=Emx x (acx / R) = 1.12786 x 10¹¹ je

AHR = 2 x SR = 2.25571 x 10¹¹ je

AVR = AX – AHR = 4.48654 x 10¹² je

Sa = AVR = 4.48654 x 10¹² je
AX’ = 2 x Sa = 8.97307 x 10¹² je

最近点　a = Emx x acx / Sa = 713,775 km
最近点速度　va = sqrt(AX’ / mx) = 94,726 km/h
進入角度 θ=acos(sqrt(AHR / AX))=77.36°

NASAのボイジャー２号のデータ
Voyager 2 Gravity Assist Velocity Changes

Voyager 2 leaves Earth at about 36 km/s relative to the sun. Climbing out, it loses much of the initial velocity the launch vehicle provided. Nearing Jupiter, its speed is increased by the planet’s gravity, and the spacecraft’s velocity exceeds solar system escape velocity. Voyager departs Jupiter with more sun-relative velocity than it had on arrival. The same is seen at Saturn and Uranus. The Neptune flyby design put Voyager close by Neptune’s moon Triton rather than attain more speed. Diagram courtesy Steve Matousek, JPL.

双曲線軌道ページは誤りがあるので、この方法で直そう！！

素数の判定

いきなりですが、私なりの素数判定式を作ってみました。
素数は、整数のサイン波の重なりあいでできたうなりの波形ということに気が付き、
上のような式でうなりの波形を作ってみました。

コンピューターで計算すると、フーリエ変換の精度で必ずしも「０」にはならないのですが、
グラフのソフトを使用して、表示すると、上のようなグラフとなります。
上のグラフは、p＝7　で計算しました。

結果は、７〜４９（＝7²）までの素数が判定されます。もちろん７²は素数ではありませんが。

グラフにする時には、ズームしないと、y＝０のラインに張り付いてしまって、目視では、判定が難しいので、
見えるくらいのズーム用定数を掛けた方がいいです。
ちなみに、上のグラフは、ズーム用定数１０をかけてあります。

また、n=2,3,4,5,6,7,…でもいいのですが、素数がわかっていればn=2,3,5,7…のように素数を代入した方が効率が良いです。

この方式で計算すれば、たとえば、p＝１０００にすれば、１０００〜１００００００までの素数がわかります。

素数は、サイン波のうなりというところが、重要です！

エキセントリックな月軌道についての原因は、軌道のうなりで説明しています。
素数のような整数的なうなりではありませんが、
かなり似たものを感じます。

ポアンカレ予想と宇宙

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。

簡単に言うと、「有限だけれども果てがなく（単連結）、穴のない３次元多様体は、必ず３次元球面（＝４次元球の表面）になります。」ってことですが、ちっとも簡単じゃないなあ

これは、すでに証明されているのですが、
宇宙の構造に直結していると言うことなので、面白そうです。

実際には無理ですが、とてつも長いロープをつけたロケットを地球から宇宙に飛ばし、ロケットが戻ってきたら、そのロープを手繰り寄せ、どこにも引っ掛からなかったら、宇宙は球の構造をしているってことです。
そもそも、ロケットにロープをつけるって前提が不可能ですが、イメージということで！

ドーナッツみたいな構造だと、穴で引っかかってロープが手繰り寄せられないので。

そりゃそうですが、宇宙って有限か？
ってところがちょっと引っかかります。

無限だったら、ロケット戻ってこないし！？

おそらく、今の人間の思考では「無限」を正確に理解できないでしょうね。
わたしも、果てがないってわかりません。

今日は、つぶやきでした。

太陽の速度を計算してみた

なんとも、しばらくブログから遠のいていました。
今年は、YouTubeに「月のエキセントリックな軌道」の解明について、アップしようかと思っています。
思っているだけで、なかなか作業は進んでいませんが（汗）

前にも、ブログに書いた記憶があるのですが、
どうも。国立天文台の、「月に関する軌道の説明」には納得できなくて、
なにがおかしいんだろうと、考察してきました。
あっ！なにがおかしいかは、わかっているのですが、

この説明です。
おかしいと思う部分は、
（１）地球も月もともに太陽に引っ張られている
（２）太陽が地球を引っ張る引力で、太陽が月を引っ張る引力を相殺した分　＜　地球が月を引っ張る引力
まあ、全部なのですが。
（２）は、計算した結果は上図に示してあります。（数字的にまずおかしいのです。）
それから、相殺した分ってところが、いまいちわからないです。
それは（１）地球は太陽に引っ張られていますが、月は地球に引っ張られていて太陽にには直接ひっぱられていないのではないかと考えるからです。
基本的に、天体の動きを「力」で考えるのは無理があるからです。
力では、刻一刻距離が変化し、ニュートンの万有引力の法則によれば、引力は距離の２乗に反比例するので、
天体の軌道は、不規則によれよれになるはずですが、その傾向はありません。

そこで、自分なりのイメージを考えてみたのが下図です、

これも、少し気に入りません。
力で考えているからです。まあ、自分のイメージには近いと思います。
そこで、エネルギーで考えてみました。

この説明は、長くなるのでまた別の機会に説明します。
簡単に言うと、親と子の間の宇宙空間にエネルギー場ができます。
エネルギー場は、距離に反比例して小さくなります。
そのエネルギー場と、子天体の動的エネルギーがバランスします。
また、親の動的エネルギーと静的エネルギーは、子に継承します。
こんな感じです。

本題に戻って、太陽の軌道速度の計算をしてみます。

g= 6672.59e-14 #万有引力定数理科年表2015より
UC = 1 / 1000^3 × 3600^2 × 1 　#単位変換　m3 s – 2 kg – 1 —> km3 h – 2 kg – 1
G =g × UC 　　　　　　　　　　 #万有引力定数( km^3 h – 2 kg – 1 )
c = 299792458 / 1000 × 3600 　#光速( km / h )
U = G / c^2 　　　　　　　　　　#重力定数単位(（Endy）U = 7.42426E-31 km/kg

を用意します。

天体質量（kg）

MM = 1.88367e41 #銀河系中心質量
Ms = 1.989e30 #太陽質量

天体間距離(km)

RMs = 25800(光年) × c × 24 × 365= 2.4392e⁺¹⁷

質量エネルギー(kg.km²/h²)

EMs = Ms × c^2 = 2.31676e⁺⁴⁸

最小基準軌道半径(Km)

aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e⁺¹¹ km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km²/h²)

Ss = EMs × ( aMsc / RMs ) #銀河ー＞太陽

軌道速度

vs = sqrt( Ss / Ms ) = 817,200.49974(km/h)
vs / 3600 = 227.00014(km/s)

ということで、太陽は、秒速２２７kmで移動しているって事になりました。

一般的な双曲線軌道が見えてきた

双曲線軌道については、これまでの何回か、思考の途中経過をブログに掲げてきました。
しかし楕円軌道のように、衝突エネルギー（I）を使って上手く表せないだろうかと、
よせばいいのに、研究して見ました。

楕円軌道については、円軌道に対して、進行方向または進行方向逆に、
衝突した場合だけを考えてきたわけですが、

この図を見た時に、実は中心天体方向の衝突エネルギー(IV)については、
何も考えていなかったことに気づいたのでした。

双曲線の基準軌道（a）は、ロケット侵入の場合、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）でした。
ということは、基準軌道（a）をぐるぐる回っている天体、（ぐるぐるかよ）
基、周回している天体を考えた場合、
そこに中心天体の方向に動かすエネルギーが、
垂直方向の衝突エネルギー（IV）ではないかと。
そうすると、こんな軌道になるのではないかと、
妄想しました。

そして妄想を膨らめ、
もっと大きな衝突エネルギーだったらどんな軌道に！

この軌道は妄想ですが、
こんな感じではないかと、
これは振幅（f）が基準軌道半径（a）にかなり近づいた、
場合の妄想です。

それでは、妄想をもっと膨らめて、
振幅（f）が基準軌道半径（a）を超えたらどうなるか

こんな、感じではないかと。
これは、まさしく双曲線軌道。

ここで、
基準軌道上の静的エネルギー（Sa）は、影響圏にロケットが侵入した時の、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）です。
これは、基準軌道上（a）の位置エネルギーを基準０とすると、
振動（f）の位置の位置エネルギー（Pf）は、

で表せます。
ここで、位置エネルギーと書いてしまいましたが、
この位置エネルギーと同等の衝突エネルギー（IV）が、基準軌道（a）上で必要となり、
fの位置に行くまでに、衝突エネルギー（IV）を消耗し、
fの位置では、エネルギー総和がゼロになるはずです。
振幅（f）は、基準軌道（a）+近点距離(r)になります。

衝突エネルギー（IV）がわかっているとすると、
衝突エネルギー（IV）

近点（r）は、

r = f – a

になります。

まとめると

（１）周回天体の進行方向の衝突（水平衝突）と中心天体方向の衝突（垂直衝突）では、軌道形状が異なります。
（２）水平衝突は、基準軌道が移動し、そこを基準に単振動します。
（３）水平衝突は、衝突した位置の静的エネルギーの２倍の動的エネルギーになると、親が移動します。
（３）垂直衝突は、基準軌道を中心に、単振動します。
（４）垂直衝突は、基準軌道の静的エネルギーを超えると、双曲線軌道になり、影響圏を脱出し親が変わります。
（５）スイングバイのように、外部から影響圏に侵入した場合は、動的エネルギーを垂直方向と水平方向に分離し、
水平方向の動的エネルギーが静的エネルギーと同じになった時点で、影響圏に突入し、親が変わります。
垂直方向の動的エネルギーは、基準軌道の静的エネルギーになります。
基準軌道（a）から振幅（f）までに移動するために衝突エネルギー（IV）が必要になります。

までわかりました。
もう少しですな。

ニューホライズンが木星をスイングバイする時の双曲線軌道

初期条件はこれだ！

（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R = 19.068 km/s (68,644.8 km/h))
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R = 14.06 °）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ = 94.96748 °）

（４）木星の質量（M = 1.89813 e²⁷kg）、ニューホライズンの質量（暫定m = 1000 kg）

これだけで、双曲線軌道を算出するのか〜
その通り。です！

求める値はこれだ！

（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、一つづつ行きます。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　A_R = m x v_R² = 1000 x 68,644.8² = 4.71211 e¹² je=kg・(km/h)²

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x cos²θ_R = 4.71211 e¹² x cos²14.06° = 4.43401E+12 je

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x sin²θ_R = 4.71211 e¹² x sin²14.06° = 2.78103E+11 je

（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
　　　基準軌道の静的エネルギー（Sa） = AV_R = 4.43401 e¹² je
　　
　　　・面積エネルギー（EA）
　　　　EA = Em x ac = 1.64144 e¹⁶ je・km
　　　　　　Em：質量エネルギー　Em =mc² = 1000 x 1.07925 e⁹ = 1.16479 e²¹ je
　　　　　　ac：光速時久順軌道半径　ac = U(M + m)= 7.42426 e^-31 km

　　　　a = EA / Sa = 370.193.8 km

（５）R：影響圏境界までの距離
　　　R = 2 x EA / SR = 11,804,557.74 km
　　　影響圏境界の静的エネルギー（S_R）
　　　
　　　S_R = EA / R = 1.39051 e¹¹ je = 1.39051 e¹¹

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　Rx = R x cosθ=7.06145 e11
　　　f = (-Rx + sqrt(Rx² + 4a(a+R)))/2
　　　= (-7.06145 + sqrt((-7.06145)² + 4 x 370,193.8 x (370,193.8 + 11,804,557.74)))
　　　= 2,694,705.8 km

（７）r：近点距離
　　　r = f – a = 2,694,705.8 – 370.193.8 = 2,324,512 km

（８）v_r：近点速度
　　　近点（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　
　　　S _r= EA / r = 1.64144 e¹⁶ / 2324512 = 7.06145 e¹¹　
　　　
　　　ロケットの動的エネルギーは。
　　　
　　　Ar = 2Sr + Sa =2 x 7.06145 e¹¹ + 4.43401 e¹² =5.84629 e12 je
　　　
　　　ロケットの近点速度（vr）　は、　　

　　　vr = sqrt(Ar / m) =sqrt(5.8429 e12 / 1000)
　　　　
　　　　 = 76,461.1 km/h（=21.24 km / s）

　　　となります。

ちなみに、「惑星探査機の軌道計算入門」での計算結果は、
基準軌道半径（半交軸）a = 3.7019 e⁵ km（当方：3.7019e5 km）
近点軌道速度　vr = 21.244 km/s（当方：21.24 km/s）
と、当ラボの結果とほぼ同じ値でした。

しかし、影響圏境界までの距離（Rは）
R=4.820e⁷ km（当方　1.1805 e7 km）となり、
約４倍の差が出てしまった。

どちらが正しいか、検証しなければわからないが、
概ね、この考え方には、間違いがないのではないかという
確証を得ることができた。

ついに！双曲線軌道わかった！

双曲線は、本当によくわからず、混沌とした日々が続いていましたが、
なんと！なんとです！わかりました。
またまた！随分前にわかったって言ってじゃないですか。
そっ！そうなんだけど。

今度こそは真相に近づいたのではないかと思うわけです。
本当ですか？！
狼爺さんになりますよ〜

まあ、そこをお通りの皆々様聴いておくんなせえ
まあ、聴くだけ聴いてやってもいいけど。

悪いなはっさん！
ちょっとお待ちなすって

三文芝居はこの当たりで。

この間ブログで、
（１）影響圏侵入時の動的エネルギーと侵入角度
だけで、軌道がわかるはずだと、豪語してしまいました。
だから、（２）近点距離がわからなくても、
計算で近点距離が算出できるはずだ！
とも言ってしまいました。

皆様、すいません。
それは無理でした。

はっ〜！どういうことですか〜狼爺さん！（怒）

まあ、聴いておくんなせえ。

双曲線軌道をこんな具合に最初考えていました。

https://rikeilabo.com/hyperbolic-curve
東大塾長の理系ラボから引用

つまり、
aが半交軸、cが焦点距離で、PF’ – PFは一定。（bはなんて呼ぶかはわからない？！）
これは、数学的には正しいのですが、
双曲線軌道で考えると、bの存在がよくわからないのですよ。

どうすれば、bを求めることができるのか！ということです。

だから〜
どうして求めたんですか！

無視した。

は〜っ！無視したってどういうこと。？
（もはや、やばい人の話を聴いているかのようになっている）

こんな風に考えたんです。
とホワイトボードに、図を描き始めた（おいおい誰が描き始めたんじゃい）

「誰にも言わないでくださいよ」（なんじゃ！そんなにやばいことなのか）

ホワイトボードに描いた図がこれだ！

出たー！なんだかわからん。
とりあえず、順番に説明していきますよ。
当たり前だ！（何故かみんな怒り）

上の丸の中、小さいので拡大第するとこんな風になっています。

影響圏にロケットが侵入した図です。
影響圏ってなんだ？
ああ、影響圏というのは、例えば
地球から打ち上げたロケットが、
地球の俗にいう引力を振り切って、
木星の方向に向かって飛んでいる姿を想像してください。
地球の引力圏を脱出したロケットは、
太陽の引力圏に入って飛行します。
そして、しばらくすると、ロケットは木星の引力圏に入って、
木星の影響を受けて飛ぶようになります。

この木星の影響を受ける範囲を影響圏と呼びます。
（これは、私の愛読書である、
半揚稔雄先生の「惑星探査機の軌道計算入門」で使っていたので、使いました。）
この本は、宇宙飛翔力学の誘いという副題がついています。
誘われてしまいました。
興味のある人は、ぜひ読んでみてください。

それは、ともかく
影響圏に入った瞬間、これを影響圏境界と呼んで、
中心天体からの距離Rとします。
そこで、距離Rを半径とした、円軌道を想像してみてください。
ロケットは、その円軌道に対して、
侵入角度θ_Rで侵入したとします。

侵入した時の、ロケットの動的エネルギーをA_Rとすると！
円軌道の接線方向と、中心天体方向にエネルギーを分割することができます。
ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーをAH_R、
中心天体方向の動的エネルギーをAV_Rとします。

そうすると、侵入角度θ_Rを使って、
と言って、ホワイトボードに式を書き始めた。

AHR　=　AR x sin²θ_R
AVR　=　AR x cos²θ_R

こんな風に円軌道接線方向と中心天体方向に分けることができます。
まあ、物理学に長けた皆様なら、特に説明はいらないでしょう。（おいおい、上から目線かよ）

次の、双曲線軌道の速度の式は良く知られていますね。

と、Wikipediaを見ながら、ホワイトボードに書いた。
この式を両辺二乗して、ロケットの質量をmとして掛けてみると、
左辺は、mv^２となって、ロケットの動的エネルギーになります。
右辺は、重力定数μは、万有引力定数Gと中心天体と
ロケットの質量を合算した質量（M+m）を使って

μ = G(M+m)
と表せるので、

となります。
これは、任意の位置（r）の静的エネルギー（Sr）と
基準軌道半径上の静的エネルギー（Sa）を使って、
2Sr + Sa
と表せるので、

双曲線起動上の任意の位置（r）の動的エネルギーは、
A_R = 2Sr + Sa
と表すことができます。よね

はーい１みんな起きてください！

ここ大事ですから、しっかりノート取ってくださいよ！

ここで、静的エネルギーSrは、
半径（r）の円軌道の接線方向の静的エネルギーになります。
ということは、Saは、中心天体方向の静的エネルギーになりますよね。

感がいいみなさんならお気づきでしょうが、（またまた、上からきた）
と言って、ホワイトボードに、式を描き始めた。

A_R = 2S_R + Sa = AH_R + AV_R

こういうことです。
任意の位置を影響圏境界の中心天体から距離（R）とすると

接線方向の動的エネルギーは、AH_R =２S_R
中心天体方向の動的エネルギーは、AV_R = S_a

となります。

これはどういう意味なんでしょうか？
と言って、またホワイトボードに図を書き始めた。

一番上の赤い曲線が中心天体に影響を受ける上限の静的セルギーの曲線です。
その下の青い曲線が、基準軌道となる静的エネルギーの曲線です。
赤い曲線は、青い曲線の２倍です。
これは、第２宇宙速度になります。

ロケットが中心天体に近づいてくると、
距離Rより大きい場合は、
その位置の基準軌道の静的エネルギーの２倍より、
接線方向の動的エネルギーが大きいので、
影響圏外。
つまり、中心天体の親の影響圏にいます。
例えば、中心天体を木星とすると、
ロケットが、距離R以上遠い場合は、
太陽の影響圏にいることになります。

しばらくして、ロケットが距離Rの位置にきたときに、
距離Rの円軌道の接線方向の動的エネルギーが、
影響圏の赤い曲線の静的エネルギーと同じになります。

その時点で、木星つまり、中心天体の影響圏に入ることになります。

しかし、ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーより、
ロケットは大きな動的エネルギーを持っています。
その余った動的エネルギーは、
中心天体方向に働きます。
そして、双曲線軌道の基準軌道半径（a）の
青い曲線の位置(a)の静的エネルギー（Sa）と同じになる。というわけです。

そして、間髪入れず、次の図をホワイトボードに描き始めた。

ロケットは、一番安定する基準軌道上（a）を移動しているけど、
実際は、双曲線軌道を動くわけです。

言ってる意味わからない〜

楕円軌道も、基準軌道上を動くけれど、
見かけ上は楕円軌道になってるのと同じですよ。

ざっくりした、説明だなあ。
楕円軌道で説明した、単振動の振幅（f）が、
基準軌道半径（a）より小さい場合は楕円軌道で、
基準軌道半径（a）より大きい場合は、
双曲線軌道になるといことですよ。

強引だな〜。

結局、双曲線軌道は、ロケットが単振動して中心天体を超えてしまうって、
イメージですかね。

ふーん

また、何やら、ホワイトボードに図を書き始めた。

これが、楕円軌道のイメージです。
aが基準軌道半径。ニュートンは長半径と言っていました。
意味は違うけど、長さは同じです。
意味違うって、どういうこと？
ニュートンは、楕円の中心が基準にしたので、こんな感じかな

ニュートンは楕円軌道の長半径を（a）として、
そこから中心までの距離を焦点（f）にしたのだけれど、
我がラボラトリーでは。（おいおい急にラボラトリーかよ）
中心天体からの長半径と同じ距離を（a）として、
単振動の振幅を（f）としたのです。
だから、長さは同じですけど、意味が違うってことです。

ふーん。まあ、どっちでもいいかあ

それは、仕組みが違うので、違うものなのです。（逆ギレ）
でも、よく見てください。
焦点距離（単振動振幅）は、
長半径（基準軌道半径）より小さいでしょ。

それで〜

双曲線なんですが、またホワイトボードに図を描き端めた。

双曲線軌道は、焦点距離（単振動振幅（f））が、
半交軸（基準軌道半径（a））より大きいでしょ。
だから、閉じない曲線＝双曲線軌道になるんですよ。

騙されてません？
いや！真実は一つ！

ということで、双曲線軌道の最近点（r）は、（f）-（a）になるのです。

ちょっと整理

この辺で、一旦整理します。（単位は書きませんです。）

事前条件はこれです。
（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R）
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ）
わかりにくいので、ホワイトボードにまたまた図を描き始めた
。

そして、求めたい値はこれです。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、順番に行きますよ。

（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　ロケットの質量を仮にmとします。
　　　そうすると、
　　　
　　　AR = m x v_R²

　となります。

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A V_R = A_R x cos²θ
　　　
　　　となります。
　　　そして、この値は、基準軌道半径（a）の静的エネルギー（S_a）になります。

　　　Sa = AV_R
　　　
　　　です。

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A H_R = A_R x sin²θ

　　　となります。
　　　これは、影響圏境界半径.（R）上の静的エネルギー（S_R）の２倍になります。
　　　
　　　S_R = AH_R / 2

　　　となります。
　　　ロケットが影響圏境界に侵入した時は、
　　　脱出速度（２S_R）と同じになり、親が変わります。
　　　すなわち、影響圏境界とは、AH_R＝２S_Rの位置になります。

（４）a：基準軌道半径
　　　宇宙エネルギー定数（U）、光速（c）中心天体質量（M）、ロケット質量（m）を使って
　　　質量エネルギー（Ea = mc²）と
　　　光速時基準軌道半径（ac = U(M+m））より、

　　　面積エネルギー（EA＝Ea x ac：）

　　　が得られます。
　　　このエネルギーは保存されるので、
　　　基準軌道上の静的エネルギー（Sa）を使って、

　　　基準軌道半径（a）は、

　　　a = EA / a

　　　となります。

（５）R：影響圏境界距離
　　　面積エネルギー（EA）と影響圏境界（R）の静的エネルギー（SR）を使って、

　　　R = EA /SR

　　　となります。

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　中心天体の基準線に対する角度（θ）（わかりにくいので、前図「双曲線相関図」を参照してください）と、
　　　基準軌道半径（a）、影響圏境界距離（R）を使って、

　　　Rx = R x cosθ とすると

　　　になります。

（７）r：近点距離
　　　振幅の最小値（焦点距離と同値）（f）と　基準軌道半径（a）を使って、’

　　　r = f- a

　　　となります

（８）v_r：近点速度
　　　近点距離（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　面積エネルギー（EA）を使用して、

　　　Sr = EA / r

　　　となります。

　　　ロケットの動的エネルギー（Ar）は

　　　Ar = 2Sr + Sa

　　　なので

　　　近点速度（vr）は、近点の静的エネルギー（Sr）とロケットの質量（m）を使って、

　　となります。

これで、双曲線軌道が、求まります。

次回は、具体的な値を使って検証します。

ふー

双曲線軌道(侵入系)-Pythonプログラム

双曲線侵入系のプログラムができましたので、アップします。

プログラム概要（仕様ではありませんので悪しからず）

宇宙船Pが、地球地表から260.９kmの地点で燃料を噴し、地球軌道から太陽の双曲線軌道に移り、木星に向かう軌道に乗ります。
木星の影響圏に入ったら、太陽軌道から木星への双曲線軌道に移ります。
木星軌道に乗ったら、木星の地表から2.253020e6を近点とした双曲線軌道に移りスイングバイします。
地球脱出時の宇宙船X速度は、42.5km/s,半交軸距離は4.25e9kmです
木星に到着時の宇宙船Xの速度は、19.07km/sになっています。
木星の影響圏の突入角度は、75.941度です。（基準軌道接線との角度）
木星の近点での速度は、23.7km/sになります。
スイングバイして脱出するときは、影響圏に入った時と同じ速度になります。
ただし、木星の公転軌道速度が加わりますので、脱出時の脱出角度により速度が増減します。（今回のプログラムでは、計算していません。）

プログラム

双曲線軌道侵入系プログラム-Python ダウンロード

結果

※単位 je=kg(km/h)²
-------------------------------------
＜宇宙用定数＞
-------------------------------------

光速 c = 1079252848.8 km/h , 宇宙エネルギー定数 U = 7.42426e-31 km/kg

-------------------------------------
＜軌道用定数＞
-------------------------------------

太陽質量　　 　　M  = 1.98910e+30 kg
地球質量　　 　　m  = 1.89813e+27 kg
宇宙船質量　　　 mp = 1.00000e+03 kg
太陽-地球間距離　Re = 1.49598e+08 km
木星近点　　　　 r  = 2.32451e+06 km


-------------------------------------
＜地球->木星 vp＞
-------------------------------------

太陽-木星間距離   Rp = 7.99920e+08 km
半交軸          ap  = 4.17590e+09 km
地球脱出速度     ve  = 4.24994e+01 km
木星到着速度     vp  = 1.90690e+01 km


-------------------------------------
＜侵入(影響圏半径) R＞
-------------------------------------

距離　　　　 　　R   = 1.18049e+07 km
速度　　　　　　 vR  = 1.90690e+01 km/h
角度　　　　 　　θR  = 7.59410e+01 度
速度（基準軌道） vHR = 4.63228e+00 km/h
速度（中心天体） vVR = 1.84978e+01 km/h
エネ（基準軌道） AHR = 2.78095e+11 je
エネ（中心天体） AVR = 4.43452e+12 je


-------------------------------------
＜侵入(半交軸) a＞
-------------------------------------

＜侵入(半交軸) a＞
距離　　　　 　　a   = 7.36969e+32 km
速度　　　　　　 va  = 3.20392e+01 km/h
角度　　　　 　　θa  = 3.52644e+01 度
エネ（基準軌道） AHa = 8.86905e+12 je
エネ（中心天体） AVa = 4.43452e+12 je
速度（基準軌道） vHa = 2.61599e+01 km/h
速度（中心天体） vVa = 1.84978e+01 km/h

-------------------------------------
＜侵入(近点) r＞
-------------------------------------

距離　　　　 　　r   = 2.32451e+06 km
速度　　　　　　 vr  = 2.36668e+01 km/h
角度　　　　 　　θ   = 6.05624e+01 度
速度（基準軌道） vHr = 1.04390e+01 km/h
速度（中心天体） vVr = 1.84978e+01 km/h
エネ（基準軌道） AHr = 1.41229e+12 je
エネ（中心天体） AVr = 4.43452e+12 je

天体質量（kg）

天体間距離(km)

質量エネルギー(kg.km2/h2)

最小基準軌道半径(Km)aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e+11 km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km2/h2)

軌道速度

質量エネルギー(kg.km²/h²)

最小基準軌道半径(Km)

aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e⁺¹¹ km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km²/h²)