ティティウス・ボーデの法則は渦？

かなり前に、この法則についてブログにかいたのですが、
その時は、アームがいくつかに分かれて、太陽系は誕生したのではないかと考えたのですが、
もう一度、再考してみます。

そこで、もう一度、ティティウス・ボーデの法則はこんな感じです。

a / AU = 0.4 + 0.3 × 2ⁿ

ａ：軌道長半径（太陽からの平均的な距離）単位はAU

水星は n= –∞、金星は n=0、地球は n=1、火星は n=2、木星は n=4、土星は n=5 など

法則	該当天体
n	距離 / au	名称
-∞	0.4	0.39	水星
0	0.7	0.72	金星
1	1.0	1.00	地球
2	1.6	1.52	火星
3	2.8	2.77	ケレス
4	5.2	5.20	木星
5	10.0	9.54	土星
6	19.6	19.19	天王星
7	38.8	30.06	海王星
8	77.2	67.71	エリス
* エリスは参考

天王星までは、かなり良い線なんですが、海王星は完全にアウト、
記述してませんが、冥王星は39.44なので、n=7に近い感じがします。

エンディの法則

私が考えたのは、直角二等辺三角形の法則です。
直角の角に、ガスや岩石がたまりやすいのではないかという考えです。

台風や銀河がこの法則に近いかたちの渦を持っています。

そこで、定数を7.2（10⁷km）に設定して、計算してみました！

n=0,1,2,…
実際の距離は　a x 10⁷ km

惑星	遠点・近点	太陽系創成時円軌道半径	n	x10⁷ km
水星	遠点	69,817,445	0	7.2
金星	遠点	108,942,780	1	10.2
地球	近点	147,098,291	2	14.4
火星	近点	206,655,215	3	20.3
木星	遠点	816,001,807	7	81.5
土星	遠点	1,503,509,229	9	162.9
天王星	遠点	3,008,318,143	11	325.8
海王星	遠点	4,537,039,826	12	460.8

と言う結果です。
衝突方向（順、逆）によって、遠点、近点を選んでみました。
天体衝突という前提なので、平均軌道距離は使用しないことにしました。
どうでしょうか。
これはアームが一本という場合です。

スイングバイの影響圏の判定

影響圏の判定方法

宇宙船の動的エネルギー（A）をスイングバイする中心天体方向の動的エネルギー(AV)と円軌道方向の動的エネルギー(AH)に分ます。

円軌道の動的エネルギー（AH）とその位置の静的エネルギ（S）と比較します。

位置	円軌道方向の静的エネルギー（S）	比較	円軌道方向の動的エネルギー（AH）
①R’	S_R’	<	AH_R’
②R	S_R	=	AH_R（AV_R=Sa=基=軌道半径aの静的エネルギー）
〜			AH_r’=AHr’+AV_R_{(双曲線軌道の式より)}
③r	S_r	=	AH_r=2AV_r=2S_a
〜			AH_r’=AHr’+AV_R_{(双曲線軌道の式より)}
④R	S_R’	=	AH_R

影響圏は②〜④の間になります。

双曲線軌道の位置rの速度は、
: $v=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}+\frac{1}{a}\right)}$

となりますので、双曲線軌道の位置rエネルギーは、

μ は万有引力定数と中心天体＋周回天体の質量の積
になります。

動的エネルギーと静的エネルギーで表すと、

質量エネルギーEm
最小基準軌道半径 ac
宇宙エネルギー定数U

を使って表すと

になります。（②〜③、③〜④の間）

この方法ならば明確に、影響圏内か、影響圏外かの判断がつきます。

どうでしょうか。
エネルギー曲線でみるとこんな感じです。

双曲線軌道完成しました！

前に、「双曲線軌道ついにわかった！」というブログをかきましたが、

その時に、具体的な例を載せますと言って、載せてなかったので、
載せることにしました。

中心星は「木星」として、木星から距離Rのところで、木星の影響圏に入ることにします。
そして木星から、距離aのところで「最近点」となり再び距離Rのところに戻っていく設定にします。

エネルギー分布図（下図）は、赤線が脱出境界（静的エネルギーの２倍）青線が静的エネルギー曲線になります。

動的エネルギーAXで影響圏に突入したとします。
AH_Rは、影響圏境界Rの円軌道方向の成分の動的エネルギー、
AV_Rは、影響圏境界Rの木星に向かってている成分の動的エネルギーになります。

ロケットの動的エネルギーは、

AX = AH_R + AV_R

になります。

ロケットは、木星の影響圏に入り、影響圏境界で、
水平静的エネルギー（AH_R）は,木星からの距離Rの静的エネルギー（SR）の２倍（第二宇宙エネルギー）になるので、

AH_R = 2 x SR
となります。

垂直方向の動的エネルギー（AV_R）は、

AV_R = AX – AH_R
になります。

AV_Rはaの基準軌道の静的エネルギーSaと同じになります。

（双曲線の惑星から距離rの動的エネルギー（AX）は、AX＝２Sr+Saと表されるので）

Sa = AV_R

最近点2aでは、AXが加速してAX’になり、
Saとバランスするので、

AX’ = 2 x Sa

になります。

エネルギーの相関図はこのようになります。

これらを踏まえて、木星を利用したスウィングバイの双曲線軌道を計算してみます。

例　木星の影響圏内の双曲線軌道

＜前提＞
木星の質量（M）：1.89813 x 10²⁷kg
宇宙船の質量（mx）：1.0 x 10³kg
影響圏境界までの距離（R）：1.45536 x 10⁷km
進入速度（vx）：6.8645 x 10⁴km/h

AX = mx x vx² = 4.71211 x 10¹² je

＜静的エネルギーの計算＞
Emx = mx x c² = 1.16479 x 10²¹ je
acx = U(M+m) = 0.00141 (U=7.42426 x 10^-31 km /kg)

SR=Emx x (acx / R) = 1.12786 x 10¹¹ je

AHR = 2 x SR = 2.25571 x 10¹¹ je

AVR = AX – AHR = 4.48654 x 10¹² je

Sa = AVR = 4.48654 x 10¹² je
AX’ = 2 x Sa = 8.97307 x 10¹² je

最近点　a = Emx x acx / Sa = 713,775 km
最近点速度　va = sqrt(AX’ / mx) = 94,726 km/h
進入角度 θ=acos(sqrt(AHR / AX))=77.36°

NASAのボイジャー２号のデータ
Voyager 2 Gravity Assist Velocity Changes

Voyager 2 leaves Earth at about 36 km/s relative to the sun. Climbing out, it loses much of the initial velocity the launch vehicle provided. Nearing Jupiter, its speed is increased by the planet’s gravity, and the spacecraft’s velocity exceeds solar system escape velocity. Voyager departs Jupiter with more sun-relative velocity than it had on arrival. The same is seen at Saturn and Uranus. The Neptune flyby design put Voyager close by Neptune’s moon Triton rather than attain more speed. Diagram courtesy Steve Matousek, JPL.

双曲線軌道ページは誤りがあるので、この方法で直そう！！

素数の判定

いきなりですが、私なりの素数判定式を作ってみました。
素数は、整数のサイン波の重なりあいでできたうなりの波形ということに気が付き、
上のような式でうなりの波形を作ってみました。

コンピューターで計算すると、フーリエ変換の精度で必ずしも「０」にはならないのですが、
グラフのソフトを使用して、表示すると、上のようなグラフとなります。
上のグラフは、p＝7　で計算しました。

結果は、７〜４９（＝7²）までの素数が判定されます。もちろん７²は素数ではありませんが。

グラフにする時には、ズームしないと、y＝０のラインに張り付いてしまって、目視では、判定が難しいので、
見えるくらいのズーム用定数を掛けた方がいいです。
ちなみに、上のグラフは、ズーム用定数１０をかけてあります。

また、n=2,3,4,5,6,7,…でもいいのですが、素数がわかっていればn=2,3,5,7…のように素数を代入した方が効率が良いです。

この方式で計算すれば、たとえば、p＝１０００にすれば、１０００〜１００００００までの素数がわかります。

素数は、サイン波のうなりというところが、重要です！

エキセントリックな月軌道についての原因は、軌道のうなりで説明しています。
素数のような整数的なうなりではありませんが、
かなり似たものを感じます。

太陽の速度を計算してみた

なんとも、しばらくブログから遠のいていました。
今年は、YouTubeに「月のエキセントリックな軌道」の解明について、アップしようかと思っています。
思っているだけで、なかなか作業は進んでいませんが（汗）

前にも、ブログに書いた記憶があるのですが、
どうも。国立天文台の、「月に関する軌道の説明」には納得できなくて、
なにがおかしいんだろうと、考察してきました。
あっ！なにがおかしいかは、わかっているのですが、

この説明です。
おかしいと思う部分は、
（１）地球も月もともに太陽に引っ張られている
（２）太陽が地球を引っ張る引力で、太陽が月を引っ張る引力を相殺した分　＜　地球が月を引っ張る引力
まあ、全部なのですが。
（２）は、計算した結果は上図に示してあります。（数字的にまずおかしいのです。）
それから、相殺した分ってところが、いまいちわからないです。
それは（１）地球は太陽に引っ張られていますが、月は地球に引っ張られていて太陽にには直接ひっぱられていないのではないかと考えるからです。
基本的に、天体の動きを「力」で考えるのは無理があるからです。
力では、刻一刻距離が変化し、ニュートンの万有引力の法則によれば、引力は距離の２乗に反比例するので、
天体の軌道は、不規則によれよれになるはずですが、その傾向はありません。

そこで、自分なりのイメージを考えてみたのが下図です、

これも、少し気に入りません。
力で考えているからです。まあ、自分のイメージには近いと思います。
そこで、エネルギーで考えてみました。

この説明は、長くなるのでまた別の機会に説明します。
簡単に言うと、親と子の間の宇宙空間にエネルギー場ができます。
エネルギー場は、距離に反比例して小さくなります。
そのエネルギー場と、子天体の動的エネルギーがバランスします。
また、親の動的エネルギーと静的エネルギーは、子に継承します。
こんな感じです。

本題に戻って、太陽の軌道速度の計算をしてみます。

g= 6672.59e-14 #万有引力定数理科年表2015より
UC = 1 / 1000^3 × 3600^2 × 1 　#単位変換　m3 s – 2 kg – 1 —> km3 h – 2 kg – 1
G =g × UC 　　　　　　　　　　 #万有引力定数( km^3 h – 2 kg – 1 )
c = 299792458 / 1000 × 3600 　#光速( km / h )
U = G / c^2 　　　　　　　　　　#重力定数単位(（Endy）U = 7.42426E-31 km/kg

を用意します。

天体質量（kg）

MM = 1.88367e41 #銀河系中心質量
Ms = 1.989e30 #太陽質量

天体間距離(km)

RMs = 25800(光年) × c × 24 × 365= 2.4392e⁺¹⁷

質量エネルギー(kg.km²/h²)

EMs = Ms × c^2 = 2.31676e⁺⁴⁸

最小基準軌道半径(Km)

aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e⁺¹¹ km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km²/h²)

Ss = EMs × ( aMsc / RMs ) #銀河ー＞太陽

軌道速度

vs = sqrt( Ss / Ms ) = 817,200.49974(km/h)
vs / 3600 = 227.00014(km/s)

ということで、太陽は、秒速２２７kmで移動しているって事になりました。

月軌道のプログラム作ってみた

まあ、ぼちぼち色々なプログラムを作っていますが、最終的に月軌道のプログラムを作りたく、日々悪戦苦闘しているわけです。まあ、全然作りかけのプログラムですが、動作するので、V1.0として掲載してみます。

とりあえず、２回の衝突軌道と地心距離のグラフを作ってみましたが、ほんととりあえずです。

月軌道プログラム（Python）

ダウンロードしてくださいダウンロード

出力結果

双曲線軌道(侵入系)-Pythonプログラム

双曲線侵入系のプログラムができましたので、アップします。

プログラム概要（仕様ではありませんので悪しからず）

宇宙船Pが、地球地表から260.９kmの地点で燃料を噴し、地球軌道から太陽の双曲線軌道に移り、木星に向かう軌道に乗ります。
木星の影響圏に入ったら、太陽軌道から木星への双曲線軌道に移ります。
木星軌道に乗ったら、木星の地表から2.253020e6を近点とした双曲線軌道に移りスイングバイします。
地球脱出時の宇宙船X速度は、42.5km/s,半交軸距離は4.25e9kmです
木星に到着時の宇宙船Xの速度は、19.07km/sになっています。
木星の影響圏の突入角度は、75.941度です。（基準軌道接線との角度）
木星の近点での速度は、23.7km/sになります。
スイングバイして脱出するときは、影響圏に入った時と同じ速度になります。
ただし、木星の公転軌道速度が加わりますので、脱出時の脱出角度により速度が増減します。（今回のプログラムでは、計算していません。）

プログラム

双曲線軌道侵入系プログラム-Python ダウンロード

結果

※単位 je=kg(km/h)²
-------------------------------------
＜宇宙用定数＞
-------------------------------------

光速 c = 1079252848.8 km/h , 宇宙エネルギー定数 U = 7.42426e-31 km/kg

-------------------------------------
＜軌道用定数＞
-------------------------------------

太陽質量　　 　　M  = 1.98910e+30 kg
地球質量　　 　　m  = 1.89813e+27 kg
宇宙船質量　　　 mp = 1.00000e+03 kg
太陽-地球間距離　Re = 1.49598e+08 km
木星近点　　　　 r  = 2.32451e+06 km


-------------------------------------
＜地球->木星 vp＞
-------------------------------------

太陽-木星間距離   Rp = 7.99920e+08 km
半交軸          ap  = 4.17590e+09 km
地球脱出速度     ve  = 4.24994e+01 km
木星到着速度     vp  = 1.90690e+01 km


-------------------------------------
＜侵入(影響圏半径) R＞
-------------------------------------

距離　　　　 　　R   = 1.18049e+07 km
速度　　　　　　 vR  = 1.90690e+01 km/h
角度　　　　 　　θR  = 7.59410e+01 度
速度（基準軌道） vHR = 4.63228e+00 km/h
速度（中心天体） vVR = 1.84978e+01 km/h
エネ（基準軌道） AHR = 2.78095e+11 je
エネ（中心天体） AVR = 4.43452e+12 je


-------------------------------------
＜侵入(半交軸) a＞
-------------------------------------

＜侵入(半交軸) a＞
距離　　　　 　　a   = 7.36969e+32 km
速度　　　　　　 va  = 3.20392e+01 km/h
角度　　　　 　　θa  = 3.52644e+01 度
エネ（基準軌道） AHa = 8.86905e+12 je
エネ（中心天体） AVa = 4.43452e+12 je
速度（基準軌道） vHa = 2.61599e+01 km/h
速度（中心天体） vVa = 1.84978e+01 km/h

-------------------------------------
＜侵入(近点) r＞
-------------------------------------

距離　　　　 　　r   = 2.32451e+06 km
速度　　　　　　 vr  = 2.36668e+01 km/h
角度　　　　 　　θ   = 6.05624e+01 度
速度（基準軌道） vHr = 1.04390e+01 km/h
速度（中心天体） vVr = 1.84978e+01 km/h
エネ（基準軌道） AHr = 1.41229e+12 je
エネ（中心天体） AVr = 4.43452e+12 je

双曲線起動-脱出系　プログラムを作ってみた

ダウンロードして使ってみてください。

Python プログラム「双曲線軌道」ダウンロード

次のような結果が表示されます

光速 c = 1079252848.8 km/h , 宇宙エネルギー定数 U = 7.42426e-31 km/kg

太陽質量　　 　　M  = 1.98910e+30 kg
地球質量　　 　　m  = 5.97219e+24 kg
宇宙船質量　　　 mp = 1.00000e+03 kg
太陽-地球間距離　Re = 1.49598e+08 km
地球半径　　　　 r  = 6.37814e+03 km

＜脱出(近点) r＞
距離　　　　 　　rp  = 6.63904e+03 km
速度　　　　　　 vX  = 1.22939e+01 km/h
角度　　　　 　　θ   = 2.69726e+01 度
速度（基準軌道） vHr = 1.09566e+01 km/h
速度（中心天体） vVr = 5.57606e+00 km/h
エネ（基準軌道） AHr = 1.55581e+12 je
エネ（中心天体） AVr = 4.02958e+11 je

＜脱出(半交軸) a＞
距離　　　　 　　a   = 1.28166e+04 km
速度　　　　　　 va  = 9.65802e+00 km/h
角度　　　　 　　θa  = 3.52644e+01 度
エネ（基準軌道） AHa = 8.05916e+11 je
エネ（中心天体） AVa = 4.02958e+11 je
速度（基準軌道） vHa = 7.88574e+00 km/h
速度（中心天体） vVa = 5.57606e+00 km/h

＜脱出(影響圏半径) R＞
距離　　　　 　　R   = 2.56332e+04 km
速度　　　　　　 vR  = 7.88574e+00 km/h
角度　　　　 　　θR  = 4.50000e+01 度
エネ（基準軌道） AHR = 4.02958e+11 je
エネ（中心天体） AVR = 4.02958e+11 je/h
速度（基準軌道） vHR = 5.57606e+00 km/h
速度（中心天体） vVR = 5.57606e+00 km/h

第三宇宙速度　計算プログラム作ってみた

ダウンロードして使ってみてください。

pythonプログラム「第三宇宙速度」ダウンロード

次のような結果が表示されます。

光速 c = 1079252848.8 km/h , 宇宙エネルギー定数 U = 7.42426e-31 km/kg

太陽質量　　 　　M  = 1.9891e+30 kg
地球質量　　 　　m  = 5.97219e+24 kg
宇宙船質量　　　 mp = 1000 kg
太陽-地球間距離　Re = 149598262 km
地球半径　　　　 r  = 6378.137 km

地球公転速度          = 2.97861e+01 km/s
太陽圏外脱出速度       = 4.21238e+01 km/s
地球公転速度差引速度  　= 1.23377e+01 km/s
地球脱出速度  　　　　　= 1.11785e+01 km/s

第３宇宙速度　　　　　　= 1.66486e+01 km/s

天体質量（kg）

天体間距離(km)

質量エネルギー(kg.km2/h2)

最小基準軌道半径(Km)aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e+11 km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km2/h2)

軌道速度

質量エネルギー(kg.km²/h²)

最小基準軌道半径(Km)

aMsc = U × ( MM + Ms ) = 1.39849e⁺¹¹ km #銀河 + 太陽

静的エネルギー(kg.km²/h²)