楕円軌道と円軌道＋単振動の違い

on 4月 12, 2021

楕円軌道は、円軌道＋単振動としています。しかし、厳密にいうと違います。
どのくらい違うかというと、火星の軌道でいうとこのくらいです。
・青線が楕円軌道、
・赤線が円軌道＋単振動
になります。
ごくわずかといえばわずか、大きいといえば大きいです。

水星の軌道では。

こんな感じです。
だんだん、違いが大きくなってきました。　
でも、これくらいならいいかなってところですが。

さらに、ハレー彗星のような、長周期の軌道では、

楕円軌道と円軌道＋単振動は全く別物です。

ということは、

楕円軌道って円軌道＋単振動じゃないじゃないか。ということになります。
その通りです。これで、楕円軌道＋単振動の理論は崩壊か〜

いや少し、待ってください。
完全な単振動では、ないけれども、基準軌道（a）を中心に、振幅（f）で振動していることは間違いありません。

そこで、極座標で中心天体から、周回天体までの距離rを長半径a、短半径b、焦点距離f、角度θで表すと、

となります。
よくある式は、離心率ε = f / a と　半直弦l=b²/aを使って

ですが、あまり、離心率と半直弦が好きでないので、
a,b,fの式にしました。
好き嫌いかよってことですが、好き嫌いです。（笑）
本当は、a+fcosθが、円＋単振動になっているからです。
これは、曲座標（r）は、普通の単振動ではありませんが、周期は単振動と同じです。

ふつうの単振動と違う理由は、静的エネルギーの大きさが、距離に反比例して変化するからです。
次の図をみてください。

位置（P0）の衝突で増えた衝突エネルギー（I₀）は、
動的エネルギー（A₀）と静的エネルギー（S₀）の差（A₀ ーS₀）になります。
そして、衝突した時の衝突エネルギー（l）＝０になる点が、周回天体の鎮座する位置（a）です。
例えば、任意の位置（r）では、動的エネルギー（Ar）は、図より、
Ar = 2Sr -Sa
と表されます。
これは、衝突エネルギーと同じ大きさの反対のエネルギーが
（これは、力の作用反作用を模して作用反エネルギーとでもいいましょうか）
安定する場所（静的エネルギー）に対して、働くからです。（言い切る）
そして、動的エネルギーは、近点（Po）で最大で速度が速く、
遠点（c）で最小で速度は遅くなります。
このエネルギーの変化によって、周回天体は、楕円軌道上を動くことになります。
これは、なんとかして、周回天体は居心地のいい場所に行こうとするからです。（再び言い切る）
そこで、楕円の極座標（r）を円軌道＋変形単振動で表してみることにします。
変形単振動は。中心天体からの距離で変化する、
静的エネルギーの差を考慮した単振動という意味です。（本来の単振動ではないけど）
楕円軌道の極座標

の式から、角度θによる、振幅(fθ)を算出したいと思います。
ここで、この式はθ=0の時に近点になるので、
θ＝０の時に遠点にしたいので、（個人的理由なので、このままでもOKです）
分母をa-fcosθにします。
振幅（fθ）は、中心星から周回天体までの距離（r）から基準軌道（a）を差し引いた（r – a）いいので、