地球トンネルから楕円軌道

地球トンネルって、知ってますか。
地球にトンネルを掘っていって、
地球の裏側まで貫通する仮想のトンネルのことです。

こんな感じのトンネルです。

このトンネルに、ボールを落としたらどうなるかって、
仮想実験なのですが、
上の例だと、東京からブエノスアイレスまで、
トンネルを掘って、ボールを落としたら、
往復で、どこのくらいの時間がかかると思いますか？

なんと

８４.4分です。

これは、大学の試験にも出題されますが。
これをどうして計算したのかという話をしたいと思います。

以下は、この愛読書からの説明です。
他のインターネットなども同じような説明なので、
ネタバレさせてください。

まずは、万有引力です。
地球の中心からzkmの位置の万有引力です

この上の式は、距離Zによって、万有引力が変わり、
z以外は固定なので、z以外を、バネ定数kと置いて

このように、バネ定数を表すことができます。
よって、角速度は、

となります。
これから、８４.４分が算出されます。

気になる方は、計算してみてください。

万有引力をグラフにすると、こんな感じです。
地球の中心で万有引力が０になり、
距離R（例えば地球の半径=6380km）
ではFにRを代入した結果になります。

しかし、考えてみると、なんで地球の中心で
万有引力が０になるのでしょうか？

そこで、静的エネルギー（S）で考えてみることにします

ここからは、自論です。
まず、地球の表面（中心から6380km）にボールがあったとします。
もちろん既に、地球トンネルが掘られているとします。
地球の表面のボールのあるところの静的エネルギー（S_R）は

こんな感じで求められます。
しかし、ボールが持っている動的エネルギーは０です。
すでにお気づきかもしれませんが、
その静的エネルギーが動的エネルギーに供給されるシステムです。
静的エネルギー(S)と動的エネルギー（Vx）が保存されるエネルギーです。
注意しなければならないのは、
楕円軌道のシステムとはシステムが違います。
すなわち、

こんな感じで、地球の中心の動的エネルギーが、
最大（S_R）となります。
つまり、速度が最大となります。

前の万有引力を使った考え方は、
静的エネルギーの話で、
エンディの理論は、ボールの動的エネルギーの話です。

どちらも、周期は84.4分になりますが、
個人的には、ボールの動的エネルギーを使った考えの方が良いと思います。
みなさんはどうでしょうか？

地球トンネルから楕円軌道

ところで、
このことを考えているうちに、
自分が考えている、楕円軌道は、円軌道＋単振動の
理論の単振動の部分は、
この、地球トンネルが応用できるのではないかと考えました。

いままで、振幅が円軌道を中心に同じ距離で振動していることが、
いまいちわかりませんでした。

しかし、Endy’s Earth Tunnelの図をみると、
０の部分が、基準軌道（a）とすると、
振幅がRの単振動がおきます。

なので、基準軌道aを中心に振幅Rの単振動が起きます。

近点で衝突した時の遠点の位置、
遠点で衝突した時の近点の位置

は、この現象で決まるとういうことがわかりました。