双曲線軌道の最近点がわかったかも

双曲線軌道の最近点が、影響圏への侵入速度と入射角で計算できないかと、
考えていた分けですが、ちょっとわかったかもしれません。

進入動的エネルギー　A_R（m _kg x vR2 _km/h）
進入角度θ deg

が既知の場合


■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_R sin²θ _kg(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_R cos²θ _kg(km/h)²

になります。

■基準軌道　静的エネルギー（S_a )
基準軌道半径aの静的エネルギーSaと同じ

Sa = AV_{R kg(km/h)²}
になります。


■基準軌道半径（a）
宇宙船の質量をm
中心星の質量をM
質量エネルギーと光速基準軌道半径の積を
EA = Em x ac ( ==> mc2 x U( M + m )） _kg(km/h)²km　
　　　　　　： c=1.07925 x 10⁹ _km/h 、U = 7.42426 x 10^-31 _km/kg
とすると
基準軌道半径は、a = EA / AV_R　になります。

■基準軌道の公転周期（Ta）
位置aの軌道速度（va）は、va = sqrt(Sa/m) _km/h
なので
Ta = 2πa / va _h
になります。

■影響圏境界の静的エネルギー(S_R)
位置Rで影響圏（S2静的エネルギー曲線）に侵入するので、
S_R = AH_R / 2　となります。

■影響圏侵入距離（R）
R = 2EA / AH_Rになります。

■垂直方向の平均速度（vV）
垂直方向の運動エネルギー（K）は、2S_Rなので、
v_V = sqrt(2S_R/m) / 2　になります。

■振動周期（Tv）
宇宙船は、影響圏侵入距離（R）から最近点（r）に到達して、
また影響圏侵入距離（R）に戻るので、
L_V =（R – r）x 2 km（①式） 垂直方向に移動するので、

T_V = L_V / v_{V h}（②式）

になります。

■最近点（r）
ここで、振動周期Tvは、
位置aの公転周期の半分 （ Ta /2） になるので、
①式と②式より
L_V =（R – r）x 2 = Tv x v_V　
式を変形して

r = R – Tv x v_V / 2

で算出できます。

具体例　木星の双曲線軌道

【設定値】
■中心星質量　M = 1.89813e27 _kg
■宇宙船　　　m = 1.0e3 _kg
■影響圏侵入動的エネルギー A_R = 5.184e12_kg(km/h)²
■影響圏進入角度　θ = 52度

【計算結果】
■水平方向の動的エネルギーAH_R = A_Rsin²θ = 1.96494e12 _kge(km/h)²
■垂直方向の動的エネルギーAV_R = A_Rcos²θ = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道の静的エネルギー Sa = AV_R = 3.21906e12 _kg(km/h)²
■基準軌道半径 a = 509,913 km
■基準軌道の公転周期 Ta = 56.470 h
■影響圏境界の静的エネルギー　S_R = AH_R / 2 = 9.82470e11 _kg(km/h)²
■影響圏境界の距離 R = 1,670,731 km
■垂直方向の平均速度 vV = 22,163.8 km/h
■振動周期 Tv = 28.235 h

■最近点 r = 1,357,838 km