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初期条件はこれだ！

（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R = 19.068 km/s (68,644.8 km/h))
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R = 14.06 °）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ = 94.96748 °）

（４）木星の質量（M = 1.89813 e²⁷kg）、ニューホライズンの質量（暫定m = 1000 kg）

これだけで、双曲線軌道を算出するのか〜
その通り。です！

求める値はこれだ！

（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、一つづつ行きます。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　A_R = m x v_R² = 1000 x 68,644.8² = 4.71211 e¹² je=kg・(km/h)²

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x cos²θ_R = 4.71211 e¹² x cos²14.06° = 4.43401E+12 je

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　A V_R = A_R x sin²θ_R = 4.71211 e¹² x sin²14.06° = 2.78103E+11 je

（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
　　　基準軌道の静的エネルギー（Sa） = AV_R = 4.43401 e¹² je
　　
　　　・面積エネルギー（EA）
　　　　EA = Em x ac = 1.64144 e¹⁶ je・km
　　　　　　Em：質量エネルギー　Em =mc² = 1000 x 1.07925 e⁹ = 1.16479 e²¹ je
　　　　　　ac：光速時久順軌道半径　ac = U(M + m)= 7.42426 e^-31 km

　　　　a = EA / Sa = 370.193.8 km

（５）R：影響圏境界までの距離
　　　R = 2 x EA / SR = 11,804,557.74 km
　　　影響圏境界の静的エネルギー（S_R）
　　　
　　　S_R = EA / R = 1.39051 e¹¹ je = 1.39051 e¹¹

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　Rx = R x cosθ=7.06145 e11
　　　f = (-Rx + sqrt(Rx² + 4a(a+R)))/2
　　　= (-7.06145 + sqrt((-7.06145)² + 4 x 370,193.8 x (370,193.8 + 11,804,557.74)))
　　　= 2,694,705.8 km

（７）r：近点距離
　　　r = f – a = 2,694,705.8 – 370.193.8 = 2,324,512 km

（８）v_r：近点速度
　　　近点（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　
　　　S _r = EA / r = 1.64144 e¹⁶ / 2324512 = 7.06145 e¹¹　
　　　
　　　ロケットの動的エネルギーは。
　　　
　　　Ar = 2Sr + Sa =2 x 7.06145 e¹¹ + 4.43401 e¹² =5.84629 e12 je
　　　
　　　ロケットの近点速度（vr）　は、　　

　　　vr = sqrt(Ar / m) =sqrt(5.8429 e12 / 1000)
　　　　
　　　　 = 76,461.1 km/h（=21.24 km / s）

　　　となります。

ちなみに、「惑星探査機の軌道計算入門」での計算結果は、
基準軌道半径（半交軸）a = 3.7019 e⁵ km（当方：3.7019e5 km）
近点軌道速度　vr = 21.244 km/s（当方：21.24 km/s）
と、当ラボの結果とほぼ同じ値でした。

しかし、影響圏境界までの距離（Rは）
R=4.820e⁷ km（当方　1.1805 e7 km）となり、
約４倍の差が出てしまった。

どちらが正しいか、検証しなければわからないが、
概ね、この考え方には、間違いがないのではないかという
確証を得ることができた。

双曲線は、本当によくわからず、混沌とした日々が続いていましたが、
なんと！なんとです！わかりました。
またまた！随分前にわかったって言ってじゃないですか。
そっ！そうなんだけど。

今度こそは真相に近づいたのではないかと思うわけです。
本当ですか？！
狼爺さんになりますよ〜

まあ、そこをお通りの皆々様聴いておくんなせえ
まあ、聴くだけ聴いてやってもいいけど。

悪いなはっさん！
ちょっとお待ちなすって

三文芝居はこの当たりで。

この間ブログで、
（１）影響圏侵入時の動的エネルギーと侵入角度
だけで、軌道がわかるはずだと、豪語してしまいました。
だから、（２）近点距離がわからなくても、
計算で近点距離が算出できるはずだ！
とも言ってしまいました。

皆様、すいません。
それは無理でした。

はっ〜！どういうことですか〜狼爺さん！（怒）

まあ、聴いておくんなせえ。

双曲線軌道をこんな具合に最初考えていました。

つまり、
aが半交軸、cが焦点距離で、PF’ – PFは一定。（bはなんて呼ぶかはわからない？！）
これは、数学的には正しいのですが、
双曲線軌道で考えると、bの存在がよくわからないのですよ。

どうすれば、bを求めることができるのか！ということです。

だから〜
どうして求めたんですか！

無視した。

は〜っ！無視したってどういうこと。？
（もはや、やばい人の話を聴いているかのようになっている）

こんな風に考えたんです。
とホワイトボードに、図を描き始めた（おいおい誰が描き始めたんじゃい）

「誰にも言わないでくださいよ」（なんじゃ！そんなにやばいことなのか）

ホワイトボードに描いた図がこれだ！

出たー！なんだかわからん。
とりあえず、順番に説明していきますよ。
当たり前だ！（何故かみんな怒り）

上の丸の中、小さいので拡大第するとこんな風になっています。

影響圏にロケットが侵入した図です。
影響圏ってなんだ？
ああ、影響圏というのは、例えば
地球から打ち上げたロケットが、
地球の俗にいう引力を振り切って、
木星の方向に向かって飛んでいる姿を想像してください。
地球の引力圏を脱出したロケットは、
太陽の引力圏に入って飛行します。
そして、しばらくすると、ロケットは木星の引力圏に入って、
木星の影響を受けて飛ぶようになります。

この木星の影響を受ける範囲を影響圏と呼びます。
（これは、私の愛読書である、
半揚稔雄先生の「惑星探査機の軌道計算入門」で使っていたので、使いました。）
この本は、宇宙飛翔力学の誘いという副題がついています。
誘われてしまいました。
興味のある人は、ぜひ読んでみてください。

それは、ともかく
影響圏に入った瞬間、これを影響圏境界と呼んで、
中心天体からの距離Rとします。
そこで、距離Rを半径とした、円軌道を想像してみてください。
ロケットは、その円軌道に対して、
侵入角度θ_Rで侵入したとします。

侵入した時の、ロケットの動的エネルギーをA_Rとすると！
円軌道の接線方向と、中心天体方向にエネルギーを分割することができます。
ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーをAH_R、
中心天体方向の動的エネルギーをAV_Rとします。

そうすると、侵入角度θ_Rを使って、
と言って、ホワイトボードに式を書き始めた。

AHR　=　AR x sin²θ_R
AVR　=　AR x cos²θ_R

こんな風に円軌道接線方向と中心天体方向に分けることができます。
まあ、物理学に長けた皆様なら、特に説明はいらないでしょう。（おいおい、上から目線かよ）

次の、双曲線軌道の速度の式は良く知られていますね。

と、Wikipediaを見ながら、ホワイトボードに書いた。
この式を両辺二乗して、ロケットの質量をmとして掛けてみると、
左辺は、mv^２となって、ロケットの動的エネルギーになります。
右辺は、重力定数μは、万有引力定数Gと中心天体と
ロケットの質量を合算した質量（M+m）を使って

μ = G(M+m)
と表せるので、

となります。
これは、任意の位置（r）の静的エネルギー（Sr）と
基準軌道半径上の静的エネルギー（Sa）を使って、
2Sr + Sa
と表せるので、

双曲線起動上の任意の位置（r）の動的エネルギーは、
A_R = 2Sr + Sa
と表すことができます。よね

はーい１みんな起きてください！

ここ大事ですから、しっかりノート取ってくださいよ！

ここで、静的エネルギーSrは、
半径（r）の円軌道の接線方向の静的エネルギーになります。
ということは、Saは、中心天体方向の静的エネルギーになりますよね。

感がいいみなさんならお気づきでしょうが、（またまた、上からきた）
と言って、ホワイトボードに、式を描き始めた。

A_R = 2S_R + Sa = AH_R + AV_R

こういうことです。
任意の位置を影響圏境界の中心天体から距離（R）とすると

接線方向の動的エネルギーは、AH_R =２S_R
中心天体方向の動的エネルギーは、AV_R = S_a

となります。

これはどういう意味なんでしょうか？
と言って、またホワイトボードに図を書き始めた。

一番上の赤い曲線が中心天体に影響を受ける上限の静的セルギーの曲線です。
その下の青い曲線が、基準軌道となる静的エネルギーの曲線です。
赤い曲線は、青い曲線の２倍です。
これは、第２宇宙速度になります。

ロケットが中心天体に近づいてくると、
距離Rより大きい場合は、
その位置の基準軌道の静的エネルギーの２倍より、
接線方向の動的エネルギーが大きいので、
影響圏外。
つまり、中心天体の親の影響圏にいます。
例えば、中心天体を木星とすると、
ロケットが、距離R以上遠い場合は、
太陽の影響圏にいることになります。

しばらくして、ロケットが距離Rの位置にきたときに、
距離Rの円軌道の接線方向の動的エネルギーが、
影響圏の赤い曲線の静的エネルギーと同じになります。

その時点で、木星つまり、中心天体の影響圏に入ることになります。

しかし、ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーより、
ロケットは大きな動的エネルギーを持っています。
その余った動的エネルギーは、
中心天体方向に働きます。
そして、双曲線軌道の基準軌道半径（a）の
青い曲線の位置(a)の静的エネルギー（Sa）と同じになる。というわけです。

そして、間髪入れず、次の図をホワイトボードに描き始めた。

ロケットは、一番安定する基準軌道上（a）を移動しているけど、
実際は、双曲線軌道を動くわけです。

言ってる意味わからない〜

楕円軌道も、基準軌道上を動くけれど、
見かけ上は楕円軌道になってるのと同じですよ。

ざっくりした、説明だなあ。
楕円軌道で説明した、単振動の振幅（f）が、
基準軌道半径（a）より小さい場合は楕円軌道で、
基準軌道半径（a）より大きい場合は、
双曲線軌道になるといことですよ。

強引だな〜。

結局、双曲線軌道は、ロケットが単振動して中心天体を超えてしまうって、
イメージですかね。

ふーん

また、何やら、ホワイトボードに図を書き始めた。

これが、楕円軌道のイメージです。
aが基準軌道半径。ニュートンは長半径と言っていました。
意味は違うけど、長さは同じです。
意味違うって、どういうこと？
ニュートンは、楕円の中心が基準にしたので、こんな感じかな

ニュートンは楕円軌道の長半径を（a）として、
そこから中心までの距離を焦点（f）にしたのだけれど、
我がラボラトリーでは。（おいおい急にラボラトリーかよ）
中心天体からの長半径と同じ距離を（a）として、
単振動の振幅を（f）としたのです。
だから、長さは同じですけど、意味が違うってことです。

ふーん。まあ、どっちでもいいかあ

それは、仕組みが違うので、違うものなのです。（逆ギレ）
でも、よく見てください。
焦点距離（単振動振幅）は、
長半径（基準軌道半径）より小さいでしょ。

それで〜

双曲線なんですが、またホワイトボードに図を描き端めた。

双曲線軌道は、焦点距離（単振動振幅（f））が、
半交軸（基準軌道半径（a））より大きいでしょ。
だから、閉じない曲線＝双曲線軌道になるんですよ。

騙されてません？
いや！真実は一つ！

ということで、双曲線軌道の最近点（r）は、（f）-（a）になるのです。

ちょっと整理

この辺で、一旦整理します。（単位は書きませんです。）

事前条件はこれです。
（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R）
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ）
わかりにくいので、ホワイトボードにまたまた図を描き始めた
。

そして、求めたい値はこれです。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、順番に行きますよ。

（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　ロケットの質量を仮にmとします。
　　　そうすると、
　　　
　　　AR = m x v_R²

　となります。

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A V_R = A_R x cos²θ
　　　
　　　となります。
　　　そして、この値は、基準軌道半径（a）の静的エネルギー（S_a）になります。

　　　Sa = AV_R
　　　
　　　です。

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A H_R = A_R x sin²θ

　　　となります。
　　　これは、影響圏境界半径.（R）上の静的エネルギー（S_R）の２倍になります。
　　　
　　　S_R = AH_R / 2

　　　となります。
　　　ロケットが影響圏境界に侵入した時は、
　　　脱出速度（２S_R）と同じになり、親が変わります。
　　　すなわち、影響圏境界とは、AH_R＝２S_Rの位置になります。

（４）a：基準軌道半径
　　　宇宙エネルギー定数（U）、光速（c）中心天体質量（M）、ロケット質量（m）を使って
　　　質量エネルギー（Ea = mc²）と
　　　光速時基準軌道半径（ac = U(M+m））より、

　　　面積エネルギー（EA＝Ea x ac：）

　　　が得られます。
　　　このエネルギーは保存されるので、
　　　基準軌道上の静的エネルギー（Sa）を使って、

　　　基準軌道半径（a）は、

　　　a = EA / a

　　　となります。

（５）R：影響圏境界距離
　　　面積エネルギー（EA）と影響圏境界（R）の静的エネルギー（SR）を使って、

　　　R = EA /SR

　　　となります。

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　中心天体の基準線に対する角度（θ）（わかりにくいので、前図「双曲線相関図」を参照してください）と、
　　　基準軌道半径（a）、影響圏境界距離（R）を使って、

　　　Rx = R x cosθ とすると

　　　になります。

（７）r：近点距離
　　　振幅の最小値（焦点距離と同値）（f）と　基準軌道半径（a）を使って、’

　　　r = f- a

　　　となります

（８）v_r：近点速度
　　　近点距離（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　面積エネルギー（EA）を使用して、

　　　Sr = EA / r

　　　となります。

　　　ロケットの動的エネルギー（Ar）は

　　　Ar = 2Sr + Sa

　　　 なので

　　　近点速度（vr）は、近点の静的エネルギー（Sr）とロケットの質量（m）を使って、

　　となります。

これで、双曲線軌道が、求まります。

次回は、具体的な値を使って検証します。

ふー

なんと、気がつけば６月もまじか、前回ブログを書いたのは、４月だった。
時の経つのは早いもので、コロナと戦いつつ、在宅ワーク。
在宅ワークも、エコノミー症候群を発症しそうなくらい、椅子に座っている。
結局一日うちにいるから、部屋は散らかり放題。
こんな生活、誰が想像しただろうか！
そんなこんなで、１ヶ月「双曲線軌道」について考えていたのですが、
まあ、仕事をしろ！ってことかもしれませんが、そこは大目に見て。

双曲線軌道をなんとかエネルギーで解こうとしました。
前にも、ブログとかページに載せてはありますが、
個人的に気に入らない箇所があってそれを解明しようと、
飯も食わずに考えておりました。
というのは全くの嘘ですが。

気に入らないところというのは、
初期値です。
宇宙船は、インテリジェントにエネルギーコントロールしながら、
宇宙空間を進んでいくのですが、
まあ、ここまでは、このサイトで証明してありますので、
詳細は語りませんが、お許しを。

今までの初期値は、
（１）宇宙船の動的エネルギー（AR）
（２）影響圏に入る時の、基準軌道に対する入射角（θ）
（３）近点（r）

の３項目でした。
この（３）近点が気に入りません。
そこもなんとか、（１）（２）だけで出ないものかと、
四苦八苦

それを考えて、早2ヶ月。
いまだに、解明できておりません。（汗）

双曲線の式は、

です。
a,b,と焦点距離(c)の関係は
a² + b² = c²
です。
ピタゴラスの定理からですが、
そんなことは、わかるわ！ってことですよね。
近点(r)は、上図のa と　F(c,0)の距離なので、
c – a
で求まります。

そして、
aは、前述の
（１）宇宙船の動的エネルギー（AR）
（２）影響圏に入る時の、基準軌道に対する入射角（θ）
から求めることができます。

影響圏突入した、中心星からの距離をRと仮にします。
そこでの、宇宙船の動的エネルギーをARとします。
そして影響圏への入射角をθとすると、
中心天体方向のエネルギー（AVR）は、
中心天体からaの基準軌道の静的エネルギー（Sa）になります。

これは、影響圏突入時の距離Rでの、
基準軌道方向の動的エネルギー（AHR）、
中心天体方向の動的エネルギー（AVR）、
基準軌道の静的エネルギー（SR）、
基準軌道の静的エネルギー（Sa）より

AR = AHR + AVR = 2SR + Sa
なので、

AHR=2Sr
AVR=Sa
となります。

エネルギー面積（EA）は、
宇宙船の質量エネルギー(Em)と
光速時軌道半径(ac)
で求まりますから、（なんで〜と思われるかもしれませんが、スルーで）

半交軸(a) = EA / Sa
影響圏突入時の距離(R)=EA / SR

で求まります・

ここまでは、OKfです。

ところが、bを求めるためには、cがわからないと求まらりません、
そして、c を求めるには、bがわからないと求まらないという、
無限ループ。
ブラックホールじゃないんだから、
出てこいやー
と言いたいところですが。
いくら呼んでも出てきません。

あ〜ここまでか。

と、解明に向け続きを考えることにします。

宇宙の構造を考えているうちに、説明の最後の方だと思うが、スイングバイがうまく説明できず、ここ３年くらい考えていたのだった。しかし、ここにきてなんとなく見通しがよくなった。

参考にしていた書物は、半楊稔雄著「惑星探査機の軌道計算入門　宇宙飛翔力学への誘い」です。この中で、惑星探査機ニューホライズンの軌道計算についての記述がある。興味のある方は、購入してみてください。

その中で、自分の理論と相違点というか、わからなかったのは、スイングバイの軌道が双曲線軌道になるというところだ。

双曲線軌道にならないというのが、自論だった。その理由は、動的エネルギーがある位置の２倍の静的エネルギーになると、基準軌道が無限大となってしまうので、親が移動するという理論だからだ。それなのに、スイングバイは双曲線軌道なのだ。

ついに自分の理論崩壊か？

そこで、再度見直してみた。

エネルギーバランス理論(調和理論)からスイングバイ

スイングバイは大きく３つのフェーズに分けられる。

（１）影響圏内に入る前

（２）影響圏の中

（３）影響圏から出た後

今回は（２）について語ってみることにします。実は、（１）（３）は、まだ十分に考えていないので。

とりあえず、双曲線軌道のエネルギー構造を調べてみた。

where

　　a:半交軸

　　r:最近点

　　R:影響圏

Sr:位置rの静的エネルギー

SR:位置Rの静的エネルギー

AR:宇宙船の動的エネルギー

Sa:半交軸の頂点の静的エネルギー

になります。なんだこれって思う人も多数いると思いますが、中心天体と距離によって、静的エネルギがどのように変化するかを表しています。用語は、半揚先生の本の言葉を使っていますが、実際の自分の理論の意味とは異なります。

このグラフも１年くらい考えて完成しました。難しそうに見えませんが、実はーSαに辿り着くまでに、試行錯誤しました。

このグラフの見方ですが、宇宙船は右から左へ動いて、中心天体に近づいて来ます。例を使った方がわかりやすいので、中心天体を木星、その親を太陽とします。地球から打ち上げた宇宙船が、木星でスイングバイするという設定です。本当は地球のパーキング軌道から木星に向かうところの軌道も考察しなくてはいけないのですが、今回は省いて、木星の近くにきてからの軌道について考えてみます。

そのまま左に宇宙船が進むとグラフのRの位置に来ます。Rは影響圏です。半揚先生の著書では、影響圏の距離は、木星から4.820e7kmになっています。しかし、自分の理論では、その１０分の１くらいになります。Rの位置の静的エネルギー(SR)の２倍に動的エネルギー(AR)になります。その位置で、宇宙船の親は木星に代わります。

という感じなるはずでしたが、宇宙船は、基準軌道Rの円軌道に対して、角度を持って侵入します。つまり宇宙船の動的エネルギー(AR)は、宇宙船全体の動的エネルギーの基準軌道方向のエネルギーになります。ということは、そのほかの動的エネルギーは、どうなっちゃうのってことです。ここで気づいたのが、木星方向の動的エネルギー(Aa)です。これが、半交軸を決める要因であるはずではないかと。

木星の影響圏に入った宇宙船は、グラフの２Sの２倍静的エネルギー曲線（赤色グラフ）上を移動します。

そして、rの位置まで近づいて、反対側から出て行きます。

ここで、最近点rは、影響圏に入った時の距離の半分になります。ここが重要です。

計算してみます

宇宙エネルギー定数　U = 7.42426E-31 km/kg

木星質量　m = 1.89813e+27 Kg

宇宙船質量　mx = 1.0e3 kg （質量エネルギーEmx = 1.16479e+21）

光速時基準軌道　ac = 0.00141 km

光速 c = 1.07925e+9 km/h

宇宙船の動的エネルギー AX = 4.45007E+12 kg(km/h)²=je （宇宙船、木星影響圏突入速度　VX = 66,708.828 Km/h）

宇宙船突入角度　θ=80.9553度

とすると

基準軌道方向の動的エネルギーは、AR = AX × cos( θ ) よりAR = 6.99573e+11jeになります

AR=2SRだから、影響圏の半径Rは

より、R = 4,692,696.69445 km

になります。有効桁数がめちゃくちゃですいません、

半揚先生の影響圏 R’=4.820e7 km と比較すると、１０分の１くらいの大きさになります。半揚先生の影響圏をどうやって算出したのかは、本に載っていなかったので、わからないのですが、とりあえず、自分で算出した、影響圏を使うことにします。

宇宙船の木星最近点距離は、Rの２分の１なので、r = 2,346,348.34722 kmになります。実際は、ニューホライズンは、最近距離は2.25302e6 kmでした。入射角と入射速度は推定なので、若干違うかもしれませんので、ほぼ同値といっても良いのではないかと思います。

木星の影響圏での宇宙船の動的エネルギーは、木星からの距離x kmでは、

Ax = 2Sx – ( -Sa )

になります。

この式を使用すれば、木星上の宇宙船の速度がもとまります。

ということで、スイングバイ影響圏の軌道の説明でした。

では。