日: 2020年2月29日

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ティティウス・ボーデの法則とは

<Wikiペディアより>

当時知られていた太陽系の6つの惑星（水星、金星、地球、火星、木星、土星）の軌道長半径（太陽からの平均的な距離）aは

で表せる。ここで水星はn=-∞、金星はn=0、地球はn=1、火星はn=2、木星はn=4、土星はn=5である。aの単位は天文単位（AU）である。

この法則の提唱後1781年に天王星が発見され、その距離はn=6の場合に良く合っていたため、法則の信憑性が高まった。そのため、空席であるn=3に該当する天体の探索が行われた。その結果1801年に小惑星ケレスが発見された。その後、このn=3に当たる距離には多数の小惑星が存在していることが判明したが、惑星に相当する天体を発見するには至らなかった。

そのため過去にはn=3の位置にも惑星が存在し、その惑星が破壊された破片が小惑星帯になった、という説も唱えられた。

しかし、小惑星帯の小惑星の質量をすべて集めても惑星ほどの質量にはならないこと、一度惑星になると重力エネルギーの解放で高温となり熱変性を受けるが小惑星のスペクトルは炭素質コンドライト（熱変性を受けていない隕石）に近いものも多いことから、むしろ、木星の重力で集積が妨害されたために惑星になれず微惑星のまま残ったものだと考えられている。

その後1846年に発見された海王星はn=7から予想される38.8天文単位から大きくずれた平均距離30.1天文単位のほぼ円軌道であることが判明したため、法則の信憑性について疑問の声があがった。
むしろ冥王星の方が平均距離39.5天文単位でn=7に当てはまっている。

余談だが当初アダムスが摂動から新惑星の軌道を試算した際、n=7への合致を仮定すると離心率が0.16と大きくなり^[1]、皮肉にも海王星より冥王星の軌道に似ていた。結局アダムスはティティウス・ボーデの法則による制限を見直すことにして、当初よりは小さな離心率を予測しなおすことができた^[2]。^{[注 1]}

コンピュータによる惑星形成のシミュレーションの結果では、生成する惑星の配置は初期条件によって大きく変わり、形成後にも惑星の軌道半径の変化が起きることが分かっている。

また近年、恒星のすぐ近くを公転する系外惑星の発見が相次いでいる。そのため、ティティウス・ボーデの法則は、力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっている。

ENDY予想　惑星間距離の法則

確かにティティウス・ボーデの法則は、太陽に近い惑星には、そこそこ成り立ちますが、遠くの惑星ははずれているため、いまやだれもしんじていませんが、そもそも太陽系が形成された初期に銀河系ような腕があったはずで、それが一本で考えたので、違っていることになってしまったのではないでしょうか。そこで腕を2本で考えてみて作ったのが次の表です。

これは、R=基点となる太陽からの距離 x (√2 )ⁿで計算したものです。かなり、近い感じになってきました。そこで、つぎのような、二乗三角形をつないでみた。これは、太陽系のガスが溜まりやすいところを表している。

L(n):太陽からの距離

b:基準距離

これは、星雲や台風にもこの傾向が見られる

星雲：NASA写真利用

台風：NASA写真利用

Solar Systemの渦の算式は次のように表される

実際、腕が３本あればある程度の太陽系の最初の形がわかる。地球だけ少し違う腕だったかもしれないので分けて記述した。

原始太陽系の腕の形

つぎのようなかたちなら、ティティウス・ボーデの法則もあながち違っていないのではないかと思う。

番外編：オウム貝で試したところ、数式が違った

太陽の周りを衛星がまわっているとするどなるかシミュレーションしてみた。起動速度毎に、似たような天体が集まっている部分もあるので、速度によってある程度天体の形がにているのかもしれない。例えば、火星と木星の衛星ユーロパ、地球と木星の衛星イオなど、なんとなく形がにている。因果関係があるかどうかわからないが、そうぞうではあるが、太陽系の形成時に同じような境遇にあったかもしれない。

相対速度算出方法

相対平均軌道速度を次のように設定して、速度分布を調査

太陽平均軌道速度=0

惑星の平均軌道速度=太陽に対する相対平均軌道速度

衛星の相対平均軌道速度=惑星の平均軌道速度＋惑星に対する相対平均軌道速度

ヴェロシティ　ゾーン

Velocity Zone Name
Mercury	MeG
Venus	VG
Earth	EG
Mars	MaG
Jupiter	JG
Saturn	SG
Uranus	UG
Neptune	NG

MeG,VG,EG（Avg.Velocity 88972~160596km/h）

Group No.			Satellite No.	Reverse	Velocity / Sun	Mass
Ma-01	Saturn	53	Aegaeon		88972.50	59,946,737,324	G環
Ma-01	Mars	2	Deimos		91541.80	1,476,188,406,600,740
Ma-01	Saturn	11	Janus		91753.80	1,892,818,231,001,750,000	共有軌道衛星
Ma-01	Saturn	12	Epimetheus		91816.40	526,032,620,017,115,000	共有軌道衛星
Ma-01	Saturn	19	Pandira		93686.80	138,476,963,218,181,000	羊飼い衛星群
Ma-01	Saturn	18	Prometheus		94227.20	160,956,989,714,639,000	羊飼い衛星群
Ma-01	Mars	1	Phobos		94373.70	10,658,529,896,187,200
Ma-01	Saturn	17	Atlas		94571.30	6,594,141,105,627,650	羊飼い衛星群
Ma-01	Saturn	35	Daphnis		94862.00	77,930,758,521,054	羊飼い衛星群
Ma-01	Saturn	20	Pan		95520.40	4,945,605,829,220,740	羊飼い衛星群
Ma-01	Jupiter	2	Europa		96478.10	47,998,438,387,492,700,000,000	Galileo Group
E-01	Jupiter	1	lo		109425.10	89,319,379,731,108,900,000,000	Galileo Group
E-01	Earth	1	Earth’s Moon		110898.50	73,476,730,924,573,500,000,000
V-01	Jupiter	14	Thebe		133059.50	1,498,668,433,097,190,000	Amalthea Group
V-01	Jupiter	5	Amalthea		142364.00	2,068,162,437,674,130,000	Amalthea Group
V-01	Jupiter	15	Adrastea		160331.20	7,493,342,165,485,970	Amalthea Group
V-01	Jupiter	16	Metris		160596.30	119,893,474,647,775,000	Amalthea Group

Ma-01:NASAサイトよりフォト借用

EG-01:NASAサイトよりフォト借用

VG-01:NASAサイトよりフォト借用

JG-05~JG-09（Avg.Velocity 55,833~86,261km/h）

Group No.			Satellite No.	Reverse	Velocity / Sun	Mass
JG-01	Neptune	8	Proteus		47016.70	355,259,352,065,700,000	N-規制（内側）
	Uranus	14	Miranda		48544.70	65,941,411,056,276,500,000	U-μ環群
	Uranus	9	Mab		52198.80		U-μ環群
	Saturn	7	Hyperion		53163.90	5,585,537,250,153,240,000	外大衛星群
	Uranus	12	Puck		54023.90	2,893,928,744,310,680,000	U-ν環群
	Neptune	7	Larrisa		54259.40	4,945,605,829,220,740,000	N-規制（内側）
	Saturn	6	Titan		54752.20	134,552,523,083,241,000,000,000	外大衛星群
JG-02	Jupiter	41	Acede	◯	54843.50	89,920,105,985,832	Pasiphae Group
	Jupiter	19	Megaclite	◯	54900.80	209,813,580,633,607	Pasiphae Group
	Jupiter	48	Cyllence	◯	54909.40	14,986,684,330,972	Pasiphae Group
	Jupiter	8	Pasiphae	◯	54959.40	299,733,686,619,439,000	Pasiphae Group
	Jupiter	49	Kore	◯	55024.80	14,986,684,330,972	Pasiphae Group
	Jupiter	28	Autonce	◯	55058.60	89,920,105,985,832	Pasiphae Group
	Jupiter	39	Hegemone	◯	55088.60	44,960,052,992,916	Pasiphae Group
	Jupiter	36	Sponde	◯	55117.00	14,986,684,330,972	Pasiphae Group
	Jupiter	9	Sinope	◯	55130.20	74,933,421,654,859,700	Pasiphae Group
	Jupiter	17	Callirrhoe	◯	55149.00	869,227,671,196,372	Pasiphae Group
JG-03	Jupiter	23	Kalyke	◯	55187.70	194,826,896,302,635	Carme Group
	Jupiter	47	Eukelade	◯	55211.20	89,920,105,985,832	Carme Group
	Jupiter	11	Carme	◯	55212.20	131,882,822,112,553,000	Carme Group
	Jupiter	50	Herse	◯	55212.60	14,986,684,330,972	Carme Group
	Jupiter	31	Aitne	◯	55213.00	44,960,052,992,916	Carme Group
	Jupiter	43	Arche	◯	55218.00	44,960,052,992,916	Carme Group
	Jupiter	20	Taygate	◯	55219.10	164,853,527,840,691	Carme Group
	Jupiter	25	Erinome	◯	55220.00	44,960,052,992,916	Carme Group
	Jupiter	37	Kale	◯	55229.40	14,986,684,330,972	Carme Group
	Jupiter	44	Kallichore	◯	55243.50	14,986,684,330,972	Carme Group Sub
	Jupiter	26	Isonce	◯	55247.90	74,933,421,654,860	Carme Group
	Jupiter	38	Pasithee	◯	55252.50	14,986,684,330,972	Carme Group
	Jupiter	21	Chaldene	◯	55252.70	74,933,421,654,860	Carme Group
	Jupiter	32	Eurydome	◯	55287.00	44,960,052,992,946	Pasiphae Group Sub
JG-04	Jupiter	30	Hermippe	◯	55698.90	89,920,105,985,832	Anenke Group-Sub
	Jupiter	12	Ananke	◯	55714.00	29,973,368,661,943,900	Anenke Group
	Jupiter	24	Iocaste	◯	55716.40	194,826,896,302,635	Anenke Group
	Jupiter	42	Thelxnoe	◯	55716.70	14,986,684,330,972	Anenke Group-Sub
	Jupiter	29	Thyone	◯	55721.60	89,920,105,985,832	Anenke Group
	Jupiter	35	Orthosie	◯	55727.50	14,986,684,330,972	Anenke Group-Sub
	Jupiter	27	Ptaxidike	◯	55736.50	434,613,845,598,186	Anenke Group
	Jupiter	22	Harpalyke	◯	55751.50	119,893,474,647,775	Anenke Group
	Jupiter	45	Helike	◯	55759.10	89,920,105,985,832	Anenke Group-Sub
	Jupiter	33	Euanthe	◯	55759.70	44,960,052,992,916	Anenke Group
	Jupiter	40	Mneme	◯	55768.10	14,986,684,330,972	Anenke Group

Group No.			Satellite No.	Reverse	Velocity / Sun	Mass
JG-05	Uranus	11	Perdita		55833.20		U-ν環群
	Uranus	10	Belinda		56069.10	356,683,087,077,132,000	U-ν環群
JG-04	Jupiter	34	Euporie	◯	56148.00	14,986,684,330,972	Anenke Group-Sub
	Uranus	13	Cupid		56248.20		U-ν環群
JG-04	Jupiter	46	Carpo		56300.00	44,960,052,992,916	Non Group
	Uranus	8	Rosalind		57272.30	254,773,633,626,523,000	U-ν環群
	Neptune	6	Galatea		57373.10	3,746,671,082,742,980,000	N-規制（内側）
	Uranus	7	Portia		58209.80	1,681,505,981,935,050,000	U-ε環群
	Uranus	6	Juliet		58675.50	557,504,657,112,156,000	U-ε環群
JG-06	Jupiter	7	Elara		58699.50	869,227,691,196,372,000	Himalia Group
	Jupiter	10	Lysithea		58799.00	62,944,074,190,082,100	Himalia Group
	Jupiter	6	Himalia		58897.90	6,744,007,948,937,370,000	Himalia Group
	Jupiter	13	Leda		59053.00	10,940,279,961,609,500	Himalia Group
JG-07	Uranus	5	Desdemona		59107.40	178,341,543,538,566,000	U-ε環群
	Uranus	4	Cressida		59346.00	343,195,071,179,257,000	U-ε環群
	Uranus	3	Bianca		60105.80	92,917,442,852,026,000	U-ε環群
	Neptune	5	Despina		60614.60	2,098,135,806,336,070,000	N-規制（内側）
	Neptune	4	Thalassa		61718.20	374,667,108,274,298,000	N-規制（内側）
	Jupiter	18	Themisto		61893.00	689,387,479,224,709	Non Group
	Uranus	2	Ophelia		61935.70	53,952,063,591,499,000	U-ε環群
	Neptune	3	Naiad		62510.90	194,826,896,302,635,000	N-規制（内側）
	Uranus	1	Cordelia		63395.20	44,960,052,992,915,800	U-δ環群
	Saturn	5	Rhea		65242.40	2,307,089,151,289,080,000,000	外大衛星群
JG-08	Saturn	34	Polydeuces		70777.60	4,496,005,299,292	トロヤ衛星
	Saturn	4	Dione		70801.40	1,095,745,430,185,280,000,000	内大衛星群
	Saturn	13	Helene		70801.50	11,389,880,091,538,700	トロヤ衛星
	Saturn	3	Tethys		75561.70	617,551,805,221,061,000,000	内大衛星群
	Saturn	15	Calypso		75566.90	2,547,736,336,265,230	トロヤ衛星
	Saturn	14	Telesto		75566.90	4,046,404,769,362,420	トロヤ衛星
	Jupiter	4	Callisto		76533.60	107,593,737,963,819,000,000,000	Galileo Group
JG-09	Saturn	2	Enceladus		80188.30	107,944,591,230,692,000,000	内大衛星群
	Saturn	33	Pallene		82859.20	32,970,705,528,138	アルキオニデス
	Saturn	52	Anthe		84468.00	1,498,668,433,097	アルキオニデス
	Saturn	32	Methone		85101.30	8,992,010,598,583	アルキオニデス
	Jupiter	3	Ganymede		86167.60	148,185,846,875,052,000,000,000	Galileo Group
	Saturn	1	Mimas		86260.80	37,505,676,206,690,400,000	内大衛星群

JG-01:NASAサイトよりフォト借用

JG-02:NASAサイトよりフォト借用

JG-03:NASAサイトよりフォト借用

JG04:NASAサイトよりフォト借用

JG-05:NASAサイトよりフォト借用

JG-06:NASAサイトよりフォト借用

JG-07:NASAサイトよりフォト借用

JG-08:NASAサイトよりフォト借用

JG-09:NASAサイトよりフォト借用

SG,（Avg.Velocity 34,701~46,450km/h）

Group No.			Satellite No.	Reverse	Velocity / Sun	Mass
S-01	Saturn	42	Fornjot	◯	34701.00		北欧群（逆）
S-02	Neptune	1	Triton	◯	35369.20	21,394,990,550,895,500,000,000	N−逆 トリトン
S-02	Uranus	19	Oberon		35826.20	2,883,438,065,279,000,000,000	U-μ環群
S-02	Uranus	18	Titania		37597.00	3,419,961,364,327,790,000,000	U-μ環群
S-01	Saturn	48	Sartur	◯	39089.10		北欧群（逆）
S-01	Saturn	45	Kari	◯	39108.20		北欧群（逆）
S-01	Saturn	21	Ymir	◯	39174.90	4,945,605,829,220,740	北欧群（逆）
S-01	Saturn	46	Loge	◯	39264.60		北欧群（逆）
S-01	Saturn	39	Bestla	◯	39296.20		北欧群（逆）
S-01	Saturn	30	Thtymr	◯	39315.10	209,813,580,633,607	北欧群（逆）
S-01	Saturn	41	Fenrir	◯	39344.30		北欧群（逆）
S-02	Saturn	23	Tarvos		39479.40	2,697,603,179,574,950	ガリア群
S-01	Saturn	36	Aegir	◯	39482.30		北欧群（逆）
S-01	Saturn	43	Hati	◯	39505.70		北欧群（逆）
S-01	Saturn	31	Narvi	◯	39527.10	344,693,739,612,354	北欧群（逆）
S-01	Saturn	40	Farbauri		39536.40
S-01	Saturn	47	Skoll	◯	39660.90		北欧群（逆）
S-01	Saturn	50	Jaensaxa	◯	39673.50		北欧群（逆）
S-02	Saturn	9	Erriapus		39693.20	764,320,900,879,568	ガリア群
S-01	Saturn	25	Sutturgr	◯	39700.00	209,813,580,633,607	北欧群（逆）
S-01	Saturn	38	Bergeimir	◯	39709.30		北欧群（逆）
S-01	Saturn	49	Greip	◯	39730.00		北欧群（逆）
S-01	Saturn	44	Hyrrokkin	◯	39738.20		北欧群（逆）
S-02	Saturn	37	Bebhionn		39738.70		ガリア群
S-02	Saturn	29	Siarnaq		39739.20	38,965,379,260,527,000	イヌエット群
S-01	Saturn	26	Mundilfari	◯	39775.80	209,813,580,633,607	北欧群（逆）
S-02	Saturn	27	Albiorix		39844.80	20,981,358,063,360,700	ガリア群
S-02	Saturn	51	Tarqeq		39966.70		イヌエット群
S-02	Saturn	22	Paaliaq		39978.30	8,242,676,382,034,560	イヌエット群
S-01	Saturn	28	Skathi	◯	40192.10	314,720,370,950,411	北欧群（逆）
S-01	Saturn	10	Phoebe	◯	40819.50	8,290,833,771,893,670,000	北欧群（逆）
S-02	Saturn	24	Ijiraq		40931.40	1,198,934,746,477,750	イヌエット群
S-02	Saturn	16	Kiviuq		41249.60	3,297,070,552,813,820	イヌエット群
S-02	Uranus	17	Umbriel		41281.60	1,221,414,772,974,210,000,000	U-μ環群
S-02	Uranus	16	Ariel		44309.30	1,294,849,526,195,970,000,000	U-μ環群
S-02	Saturn	8	Iapetus		46449.80	1,805,952,411,282,580,000,000	外大衛星群

SG-01,02:NASAサイトよりフォト借用

NG-01,NG-02,UG-01（Avg.Velocity 19,566~28,657km/h）

Group No.			Satellite No.	Reverse	Velocity / Sun	Mass
NG-02	Neptune	13	Neso	◯	20774.80	164,853,527,640,691,000	N−逆　不規則
NG-02	Neptune	10	Psamathe	◯	20901.80	14,986,684,330,971,900	N−逆　不規則
NG-01	Neptune	12	Laomedeia		21432.50	89,920,105,985,831,600	N-順　不規則
NG-01	Neptune	11	Sao		21554.50	89,920,105,985,831,600	N-順　不規則
NG-02	Neptune	9	Halimede	◯	21839.20	89,920,105,985,831,600	N−逆　不規則
NG-01	Neptune	2	Nereid		22929.00	30,872,569,721,802,200,000	N-順　不規則
UG-01	Uranus	27	Ferdinand	◯	26315.20	6,294,407,419,008,210	U-逆
UG-01	Uranus	26	Setebos	◯	26334.00	86,922,769,119,637,200	U-逆
UG-01	Uranus	24	Margaret	◯	26423.40	6,294,407,419,008,210	U-逆
UG-01	Uranus	25	Prospero	◯	26520.20	98,912,116,584,414,800	U-逆
UG-01	Uranus	23	Sycorax	◯	26773.60	2,697,603,179,574,950,000	U-逆
UG-01	Uranus	22	Trinculo	◯	27412.20	4,645,872,142,601,300	U-逆
UG-01	Uranus	21	Stephano	◯	27531.90	25,477,363,362,652,300	U-逆
UG-01	Uranus	20	Caliban	◯	27715.50	299,733,686,619,439,000	U-逆
UG-01	Uranus	15	Francisco	◯	28656.60	8,392,543,225,344,280	U-逆

NG-01,02,UG-01（:NASAサイトよりフォト借用）

運動エネルギーと位置エネルギーによる楕円運動

高校の物理で運動エネルギーについて習った。それは　

m:質量、v:速度　と習った。これは、楕円軌道やホーマン軌道を求めるとき、また、位置エネルギーと運動エネルギーの保存などで使った。次に「ほーマン軌道」の時のエネルギーバランスの式がwikiに載っていたので、掲載する。

等号式の真ん中が、右側第１式が「天体など」の運動エネルギー、第２式が任意の位置rの位置エネルギー、一番右の等号の右側の式が長半径の２倍の位置の位置エネルギーでそれと、先ほどの運動エネルギーと位置エネルギーを加えたエネルギーと等しくなるという式である。なんとなく意味はわからないではないが、なぜ、長半径の２倍位置の位置エネルギーと等しくなるのかがよくわからない。

そもそも、天体の進行方向の運動エネルギーは

なのかというところも、宇宙エネルギー構造からすると疑問である。

宇宙構造からの楕円軌道

そこで、宇宙エネルギー構造を元に解釈してみる。そもそも、楕円軌道は、私の仮説ではあるが、衝突により楕円軌道になっている。その衝突エネルギーの分衝突位置でのエネルギーが増えるので、そのエネルギーを使って静的エネルギーとバランスする位置まで移動して、鎮座するというのが私の理論である。

衝突エネルギーをI、位置aでの静的エネルギーをSa、位置aでの動的エネルギーをAva、鎮座する位置をbとすると、任意の位置rの静的エネルギーをSr,任意の位置rの動的エネルギーをAvrとすると、位置aでの静的エネルギーと動的エネルギーはバランスしているので、Sa=Avaの状態です。そこに、衝突天体が衝突エネルギーIで衝突すので、動的エネルギーはA’va = Ava + Iとなります。つまりA’va = Ava + I = Sb+ 2I、Sa – I =Sbとなります。任意の位置rでは、A’vr = Sr + Ir、Sr – Ir = Sbとなります。このことから、A’vr + Sb = 2Srとなり、鎮座します。このことから、位置bの静的エネルギーSbは（基準軌道＝中心天体から長半径の距離(b)）Sb = 2Sr – A’vrとなります。

wiki の式は。位置rの運動エネルギー+位置rの位置エネルギー＝長半径の２倍の位置の位置エネルギー　Kr + Pr = P2b

私の式は、衝突後の基準軌道位置bの静的エネルギー ＝ 位置rの静的エネルギーの２倍 – 位置rの静的エネルギーとなります。Sb = 2Sr – A’vr

さらに、移動後の基準軌道bは、Sb = 2Sa – A’va = Sa – I より　b=EA/(Sa – I) となります。EAは面積エネルギーで、光速時静的エネルギーScと光速時基準軌道半径acより、Sc x acです。

ホーマン軌道(Wiki)

Wikipedia “Hohmann transfer Orbit” より引用

For a small body orbiting another much larger body, such as a satellite orbiting Earth, the total energy of the smaller body is the sum of its kinetic energy and potential energy, and this total energy also equals half the potential at the average distance a (the semi-major axis):

Solving this equation for velocity results in the vis-viva equation,

where:

• v is the speed of an orbiting body,
• μ=GM is the standard gravitational parameter of the primary body, assuming 
  
   is not significantly bigger than  (which makes  
  
  ),
• r is the distance of the orbiting body from the primary focus,
• a is the semi-major axis of the body’s orbit.