ケプラーの法則と万有引力の関係って

プリンキピアの中で、ニュートンは、太陽を公転する地球の運動や木星の衛星の運動を統一して説明することを試みました。

ケプラーの法則に運動方程式を適用することで、万有引力の法則が成立することを発見しました。

これは、『2つの物体の間には、物体の質量に比例し、2物体間の距離の2乗に反比例する引力が作用する』と見なす法則です。

力そのものは、瞬時に伝わると考えました。（これってどうなのかと思いますが。宇宙で一番早い速度は光速ではなかったかと。そして、力が宇宙空間を伝わるってどう言うことですか〜、わからんなあ。まあそれはそれとして）

式で表すと、万有引力の大きさFは、物体の質量を M,m、物体間の距離をrとして、

と表されます。実際の符号はマイナスですが。

Gは万有引力定数で

となります。

万有なので、木から落ちるりんごにもこの式は適用できるはずで。

地球の質量をM、リンゴの質量を m、地球の半径を rとすれば、万有引力の大きさは、 であり、

リンゴの運動方程式は、加速度を gとして、

となる。

すなわち、地球重力による加速度は

となり、すべての物質について同じ値になる。mはMに比べてすごく小さいため、足し算の部分は影響が少ないため省いた。厳密にいえば、質量mの大きさによって異な利ますが。

これはガリレオの言っている「重さに関係なく同時に落ちる」と言ってることの証明になります。

上記の式から地球の質量を求めることができ、地球表面では重力加速度は約9.8m/s2であり、地球の半径は約6400kmであるので、

がわかる。

ここで、遠心力は、角速度ωと起動速度vにより

になります。

遠心力＝万有引力になるので、、

軌道速度vは

これで、惑星の周期を計算すると、大体あっていたという話です。

ケプラーの第３法則は、これから簡単に導かれます。

より、T² = kr³（kは定数）になり、ケプラーの第三者法則が成り立ちます。

ケプラーの第二法則も説明しているのですが、今日はこの辺で。

では