ついに！双曲線軌道わかった！

双曲線は、本当によくわからず、混沌とした日々が続いていましたが、
なんと！なんとです！わかりました。
またまた！随分前にわかったって言ってじゃないですか。
そっ！そうなんだけど。

今度こそは真相に近づいたのではないかと思うわけです。
本当ですか？！
狼爺さんになりますよ〜

まあ、そこをお通りの皆々様聴いておくんなせえ
まあ、聴くだけ聴いてやってもいいけど。

悪いなはっさん！
ちょっとお待ちなすって

三文芝居はこの当たりで。

この間ブログで、
（１）影響圏侵入時の動的エネルギーと侵入角度
だけで、軌道がわかるはずだと、豪語してしまいました。
だから、（２）近点距離がわからなくても、
計算で近点距離が算出できるはずだ！
とも言ってしまいました。

皆様、すいません。
それは無理でした。

はっ〜！どういうことですか〜狼爺さん！（怒）

まあ、聴いておくんなせえ。

双曲線軌道をこんな具合に最初考えていました。

つまり、
aが半交軸、cが焦点距離で、PF’ – PFは一定。（bはなんて呼ぶかはわからない？！）
これは、数学的には正しいのですが、
双曲線軌道で考えると、bの存在がよくわからないのですよ。

どうすれば、bを求めることができるのか！ということです。

だから〜
どうして求めたんですか！

無視した。

は〜っ！無視したってどういうこと。？
（もはや、やばい人の話を聴いているかのようになっている）

こんな風に考えたんです。
とホワイトボードに、図を描き始めた（おいおい誰が描き始めたんじゃい）

「誰にも言わないでくださいよ」（なんじゃ！そんなにやばいことなのか）

ホワイトボードに描いた図がこれだ！

出たー！なんだかわからん。
とりあえず、順番に説明していきますよ。
当たり前だ！（何故かみんな怒り）

上の丸の中、小さいので拡大第するとこんな風になっています。

影響圏にロケットが侵入した図です。
影響圏ってなんだ？
ああ、影響圏というのは、例えば
地球から打ち上げたロケットが、
地球の俗にいう引力を振り切って、
木星の方向に向かって飛んでいる姿を想像してください。
地球の引力圏を脱出したロケットは、
太陽の引力圏に入って飛行します。
そして、しばらくすると、ロケットは木星の引力圏に入って、
木星の影響を受けて飛ぶようになります。

この木星の影響を受ける範囲を影響圏と呼びます。
（これは、私の愛読書である、
半揚稔雄先生の「惑星探査機の軌道計算入門」で使っていたので、使いました。）
この本は、宇宙飛翔力学の誘いという副題がついています。
誘われてしまいました。
興味のある人は、ぜひ読んでみてください。

それは、ともかく
影響圏に入った瞬間、これを影響圏境界と呼んで、
中心天体からの距離Rとします。
そこで、距離Rを半径とした、円軌道を想像してみてください。
ロケットは、その円軌道に対して、
侵入角度θ_Rで侵入したとします。

侵入した時の、ロケットの動的エネルギーをA_Rとすると！
円軌道の接線方向と、中心天体方向にエネルギーを分割することができます。
ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーをAH_R、
中心天体方向の動的エネルギーをAV_Rとします。

そうすると、侵入角度θ_Rを使って、
と言って、ホワイトボードに式を書き始めた。

AHR　=　AR x sin²θ_R
AVR　=　AR x cos²θ_R

こんな風に円軌道接線方向と中心天体方向に分けることができます。
まあ、物理学に長けた皆様なら、特に説明はいらないでしょう。（おいおい、上から目線かよ）

次の、双曲線軌道の速度の式は良く知られていますね。

と、Wikipediaを見ながら、ホワイトボードに書いた。
この式を両辺二乗して、ロケットの質量をmとして掛けてみると、
左辺は、mv^２となって、ロケットの動的エネルギーになります。
右辺は、重力定数μは、万有引力定数Gと中心天体と
ロケットの質量を合算した質量（M+m）を使って

μ = G(M+m)
と表せるので、

となります。
これは、任意の位置（r）の静的エネルギー（Sr）と
基準軌道半径上の静的エネルギー（Sa）を使って、
2Sr + Sa
と表せるので、

双曲線起動上の任意の位置（r）の動的エネルギーは、
A_R = 2Sr + Sa
と表すことができます。よね

はーい１みんな起きてください！

ここ大事ですから、しっかりノート取ってくださいよ！

ここで、静的エネルギーSrは、
半径（r）の円軌道の接線方向の静的エネルギーになります。
ということは、Saは、中心天体方向の静的エネルギーになりますよね。

感がいいみなさんならお気づきでしょうが、（またまた、上からきた）
と言って、ホワイトボードに、式を描き始めた。

A_R = 2S_R + Sa = AH_R + AV_R

こういうことです。
任意の位置を影響圏境界の中心天体から距離（R）とすると

接線方向の動的エネルギーは、AH_R =２S_R
中心天体方向の動的エネルギーは、AV_R = S_a

となります。

これはどういう意味なんでしょうか？
と言って、またホワイトボードに図を書き始めた。

一番上の赤い曲線が中心天体に影響を受ける上限の静的セルギーの曲線です。
その下の青い曲線が、基準軌道となる静的エネルギーの曲線です。
赤い曲線は、青い曲線の２倍です。
これは、第２宇宙速度になります。

ロケットが中心天体に近づいてくると、
距離Rより大きい場合は、
その位置の基準軌道の静的エネルギーの２倍より、
接線方向の動的エネルギーが大きいので、
影響圏外。
つまり、中心天体の親の影響圏にいます。
例えば、中心天体を木星とすると、
ロケットが、距離R以上遠い場合は、
太陽の影響圏にいることになります。

しばらくして、ロケットが距離Rの位置にきたときに、
距離Rの円軌道の接線方向の動的エネルギーが、
影響圏の赤い曲線の静的エネルギーと同じになります。

その時点で、木星つまり、中心天体の影響圏に入ることになります。

しかし、ここで、円軌道の接線方向の動的エネルギーより、
ロケットは大きな動的エネルギーを持っています。
その余った動的エネルギーは、
中心天体方向に働きます。
そして、双曲線軌道の基準軌道半径（a）の
青い曲線の位置(a)の静的エネルギー（Sa）と同じになる。というわけです。

そして、間髪入れず、次の図をホワイトボードに描き始めた。

ロケットは、一番安定する基準軌道上（a）を移動しているけど、
実際は、双曲線軌道を動くわけです。

言ってる意味わからない〜

楕円軌道も、基準軌道上を動くけれど、
見かけ上は楕円軌道になってるのと同じですよ。

ざっくりした、説明だなあ。
楕円軌道で説明した、単振動の振幅（f）が、
基準軌道半径（a）より小さい場合は楕円軌道で、
基準軌道半径（a）より大きい場合は、
双曲線軌道になるといことですよ。

強引だな〜。

結局、双曲線軌道は、ロケットが単振動して中心天体を超えてしまうって、
イメージですかね。

ふーん

また、何やら、ホワイトボードに図を書き始めた。

これが、楕円軌道のイメージです。
aが基準軌道半径。ニュートンは長半径と言っていました。
意味は違うけど、長さは同じです。
意味違うって、どういうこと？
ニュートンは、楕円の中心が基準にしたので、こんな感じかな

ニュートンは楕円軌道の長半径を（a）として、
そこから中心までの距離を焦点（f）にしたのだけれど、
我がラボラトリーでは。（おいおい急にラボラトリーかよ）
中心天体からの長半径と同じ距離を（a）として、
単振動の振幅を（f）としたのです。
だから、長さは同じですけど、意味が違うってことです。

ふーん。まあ、どっちでもいいかあ

それは、仕組みが違うので、違うものなのです。（逆ギレ）
でも、よく見てください。
焦点距離（単振動振幅）は、
長半径（基準軌道半径）より小さいでしょ。

それで〜

双曲線なんですが、またホワイトボードに図を描き端めた。

双曲線軌道は、焦点距離（単振動振幅（f））が、
半交軸（基準軌道半径（a））より大きいでしょ。
だから、閉じない曲線＝双曲線軌道になるんですよ。

騙されてません？
いや！真実は一つ！

ということで、双曲線軌道の最近点（r）は、（f）-（a）になるのです。

ちょっと整理

この辺で、一旦整理します。（単位は書きませんです。）

事前条件はこれです。
（１）ロケットの影響圏境界侵入速度（v_R）
（２）侵入角度（半径（R）の円軌道との接線に対する角度）（θ_R）
（３）中心天体の基準線に対する角度（θ）
わかりにくいので、ホワイトボードにまたまた図を描き始めた
。

そして、求めたい値はこれです。
（１）A_R：ロケットの動的エネルギ＝
（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
（４）a：基準軌道半径（半交軸と同値）
（５）R：影響圏境界までの距離
（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
（７）r：近点距離
（８）v_r：近点速度

では、順番に行きますよ。

（１）A_R：ロケットの動的エネルギー
　　　ロケットの質量を仮にmとします。
　　　そうすると、
　　　
　　　AR = m x v_R²

　となります。

（２）A V_R：ロケットの中心天体方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A V_R = A_R x cos²θ
　　　
　　　となります。
　　　そして、この値は、基準軌道半径（a）の静的エネルギー（S_a）になります。

　　　Sa = AV_R
　　　
　　　です。

（３）AH_R：ロケットの影響圏境界の円軌道方向の動的エネルギー
　　　これは、ロケットの動的エネルギー（A_R）と
　　　影響圏侵入角度（θ）で、

　　　A H_R = A_R x sin²θ

　　　となります。
　　　これは、影響圏境界半径.（R）上の静的エネルギー（S_R）の２倍になります。
　　　
　　　S_R = AH_R / 2

　　　となります。
　　　ロケットが影響圏境界に侵入した時は、
　　　脱出速度（２S_R）と同じになり、親が変わります。
　　　すなわち、影響圏境界とは、AH_R＝２S_Rの位置になります。

（４）a：基準軌道半径
　　　宇宙エネルギー定数（U）、光速（c）中心天体質量（M）、ロケット質量（m）を使って
　　　質量エネルギー（Ea = mc²）と
　　　光速時基準軌道半径（ac = U(M+m））より、

　　　面積エネルギー（EA＝Ea x ac：）

　　　が得られます。
　　　このエネルギーは保存されるので、
　　　基準軌道上の静的エネルギー（Sa）を使って、

　　　基準軌道半径（a）は、

　　　a = EA / a

　　　となります。

（５）R：影響圏境界距離
　　　面積エネルギー（EA）と影響圏境界（R）の静的エネルギー（SR）を使って、

　　　R = EA /SR

　　　となります。

（６）f：振幅の最小値（焦点距離と同値）
　　　中心天体の基準線に対する角度（θ）（わかりにくいので、前図「双曲線相関図」を参照してください）と、
　　　基準軌道半径（a）、影響圏境界距離（R）を使って、

　　　Rx = R x cosθ とすると

　　　になります。

（７）r：近点距離
　　　振幅の最小値（焦点距離と同値）（f）と　基準軌道半径（a）を使って、’

　　　r = f- a

　　　となります

（８）v_r：近点速度
　　　近点距離（r）の静的エネルギー（Sr）は、
　　　面積エネルギー（EA）を使用して、

　　　Sr = EA / r

　　　となります。

　　　ロケットの動的エネルギー（Ar）は

　　　Ar = 2Sr + Sa

　　　 なので

　　　近点速度（vr）は、近点の静的エネルギー（Sr）とロケットの質量（m）を使って、

　　となります。

これで、双曲線軌道が、求まります。

次回は、具体的な値を使って検証します。

ふー